szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 00:58 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Polska
Cześć, potrzebuję pomocy, żeby dowieść kilka tożsamości z liczbami Stirlinga pierwszego i drugiego rodzaju. Zrobiłem kilka przykładów lecz kilka jest takich, że w pewnym momencie się zatrzymuje i nie wiem co dalej ruszyc. Tutaj kilka z nich:

1. x^{\overline{n}} =  \sum_{k=0}^{n} \left[ \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right] x^{k}

2. \sum_{k=0}^{n} \left\{ {k}\atop{2}\right\}  \left( {n}\atop{k}\right) =  \left\{ {n+1}\atop{3}\right\}

3. \sum_{k=0}^{n} k \left[\begin{matrix} n+1 \\ k\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} n+2 \\ 2\end{matrix} \right]

4. \sum_{k=m}^{n} \left\{ {k}\atop{m}\right\}   \left( {n}\atop{k}\right) = \left\{ {n+1}\atop{m+1}\right\}

5. \sum_{k=0}^{n} \left[\begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right] 2^{k} =(n+1)!

6. \sum_{k=1}^{n}k\left[\begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} n+1 \\ 2\end{matrix} \right]
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 01:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12445
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Zauważ, że zadanie 2. to tak naprawdę zakamuflowany szczególny przypadek zadania 4. gdzie
m=2, a to dlatego, że
\left\{ {0}\atop{2}\right\}= \left\{ {1}\atop{2}\right\}=0, więc tak naprawdę suma w 2. równie dobrze mogłaby się zaczynać od k=2

Interpretacja kombinatoryczna do zadania 4.
Chcemy podzielić zbiór o n+1 elementach na m+1 niepustych podzbiorów.
Z jednej strony możemy to uczynić na \left\{ {n+1}\atop{m+1}\right\} sposobów (definicja liczb Stirlinga II rodzaju). Z drugiej strony możemy na to spojrzeć tak:
wyróżniamy pewien element w tym zbiorze n+1-elementowym, pozostałych elementów jest oczywiście n. Wybieramy na {n \choose k} sposobów k elementów (spośród tych n pozostałych), gdzie k\ge m i dzielimy powstały podzbiór k-elementowy na m niepustych podzbiorów na \left\{ {k}\atop{m}\right\} sposobów. Pozostałe n-k elementów ląduje w tym samym zbiorze, co nasz wyróżniony element - łącznie otrzymujemy w ten sposób dowolny podział na m+1 niepustych podzbiorów.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Tożsamości kombinatoryczne - zadanie 5  pelas_91  1
 Kombinatoryczne udowodnienie własności z I liczba Stirlinga  Kuber19  3
 Udowodnij równość z liczbami Stirlinga  uczen23  1
 Liczby stirlinga I rodzaju, wzór jawny && suma kwadratów  Kryna  2
 wzór Stirlinga - zadanie 2  prymas  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl