szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 00:10 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Polska
Czesc, mam problem ze znajdowaniem zwartej postaci sumy. Mimo tego, że mam pełno toższamości wypisanych, a czasami nawet znam odpowiedz i tak nie potrafię danej sumy przeksztalcic w taki sposób, zeby dotrzeć do wyniku. Poratuje ktoś jakimis radami, na co zwracac uwage i do czego dazyc?
Przykłady, których nie moge dokonczyc:

1. \sum_{k=0}^{n}  \left( {n}\atop{k}\right)  \frac{ (-1)^{k} }{k+1}

2. \sum_{k=0}^{n} (k+3)\left( {n}\atop{k}\right)

3. \sum_{k=0}^{n}  (k+3)^{2} \left( {n}\atop{k}\right)

4. \sum_{k=0}^{n}   \left( {n}\atop{k}\right)^{2}

5. \sum_{k=0}^{n}   (-1)^{k}  \left( {n}\atop{k}\right)^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 01:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13166
Lokalizacja: Wrocław
1. Ze wzoru dwumianowego Newtona mamy
\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^k 1^{n-k}=(x+1)^n
Całkując tę równość stronami w granicach od 0 do x, dostajemy
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}{n \choose k}x^{k+1}=\frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}-\frac 1 {n+1}
Podstawiamy x=-1, mnożymy stronami przez -1 i mamy
\sum_{k=0}^{n} \left( {n}\atop{k}\right) \frac{ (-1)^{k} }{k+1}=\frac{1}{n+1}

2. Wskazówka:
\sum_{k=0}^{n}(k+3) \left( {n}\atop{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}k\left( {n}\atop{k}\right)
+3\sum_{k=0}^{n}\left( {n}\atop{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}k\left( {n}\atop{k}\right)
+3\sum_{k=0}^{n}\left( {n}\atop{k}\right)
Ponadto k {n \choose k}=n{n-1 \choose k-1} dla k \ge 1

3. Rozważmy f(x)= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^{n+3}=x^3(1+x)^n
Policz (xf'(x))' w punkcie x_0=1

4. Interpretacja kombinatoryczna, liczba podzbiorów n-elementowych zbioru 2n-elementowego (malujesz połowę elementów na niebiesko, drugą połowę na kolor pasty do butów Kiwi, wybierasz k elementów z jednej "połówki" na {n \choose k} sposobów i do tego na {n \choose n-k}={n \choose k} sposobów dobierasz n-k elementów z drugiej "połówki").

5. Jeżeli n jest nieparzyste to ta suma wynosi zero, gdyż
2 \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}^2=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}^2+\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} {n \choose k}^2= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\left(1+(-1)^n \right) {n \choose k}^2
bo (-1)^{2k}=1
Zatem gdy n nieparzyste, to każdy składnik powyższej sumy jest zerem, więc
2 \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}^2=0, czyli...


A dla parzystych nie chce mi się liczyć, pewnie też jest jakaś sztuczka.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 10:31 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Polska
1. Jasne
2/3 (jezeli chodzi o drugie i trzecie, to obudzilem sie dzisiaj i je po prostu zrobilem, wczoraj siedzialem zbyt dlugo i nie moglem myslec)

\sum_{k=0}^{n}  (k+3) \left( {n}\atop{k}\right) = \sum_{k=0}^{n}  k \left( {n}\atop{k}\right) + 3\sum_{k=0}^{n}   \left( {n}\atop{k}\right) = n 2^{n-1} + 3( 2^{n} )= 2^{n-1} (n+6)

\sum_{k=0}^{n}   (k+3)^{2}  \left( {n}\atop{k}\right) =\sum_{k=0}^{n}   k^{2}  \left( {n}\atop{k}\right) + 6\sum_{k=0}^{n}   k  \left( {n}\atop{k}\right) + 9\sum_{k=0}^{n}     \left( {n}\atop{k}\right) =n(n-1) 2^{n-2}+n  2^{n-1}+6n 2^{n-1}+9(2^{n}) =  2^{n-2}( n^{2}-13n+36)

4. Jasne
5. Zostawiam dla przyszlych pokolen :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zwarta postać sumy - zadanie 5  krymeer  2
 Zwarta postać sumy - zadanie 13  aolo23  1
 Zwarta postać sumy - zadanie 12  splinter  1
 Zwarta postac sumy - zadanie 8  timus221  18
 Zwarta postać sumy - zadanie 4  artmat  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl