szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 09:36 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: ola
W trójkącie ABC mamy kąty \angle ACB = 90^o,\angle BAC< 45^o oraz AB = 7. Punkt P \in AB tak że \angle APC= 2\angle ACP oraz CP = 1. Oblicz \frac{BP}{AP}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 11:51 
Użytkownik

Posty: 2000
Lokalizacja: Warszawa
Zrób rysunek. Popatrz na trójkąt APC i znajdź jego kąty. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 11:58 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: ola
A jak znalźć te kąty bo jakoś nie widzę jak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Zauważ, że trójkąt jest prostokątny, zatem do opisania okręgiem k takim, że |AB|=7 jest jego średnicą i przeciwprostokątną tego trójkąta którego trzeci wierzchołek C \in k
Ale zauważamy, że aby kąt przy wierzchołku A był połową kąta \angle ACP, odcinek CP musi być promieniem okręgu, zatem warunek wg treści zadania |CP|=1
nie może tu być spełniony bowiem odcinek CP jest promieniem okręgu i mam miarę połowy przeciwprostokątnej.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 22:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5523
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(0,0.9136)--(6.94,0)--(0,0); 
\draw[blue](0,0)--(0.53732,0.84338);
\draw[red] (0,0)node[left] {$C$};
\draw[red] (0,0.9136)node[left] {$A$};
\draw[red] (6.94,0)node[right] {$B$};
\draw[red] (0.53732,0.84338)node[above] {$P$};
\end{tikzpicture}
\alpha =\angle ACP= \arccos\sqrt{ \frac{1+ \sqrt{ \frac{5}{28} } }{2} } \approx 32^{\circ}30'
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 cze 2017, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Ale tu kąt \angle BAC > 45^o a powinien być mniejszy.

Mam wrażenie, że zadanie przepisano nie dokładnie. Bo poleceniem jest nie obliiczenie kąta, ale stosunku podziału przeciwprostokatnej punktem : oblicz
a przy takich kątach ten stosunek wydaje się być newymierny czego w zadaniach szkolnych się unika.
Zadanie bez tego warunku jest rozwiązywalne bez rachunków. Punkt p połowi przeciwprostokątną i

\frac{|BP|}{|AP|} =1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2017, o 08:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5523
Główny problem leży w tym, że nie miałem czasu aby zamieścić cały post, a i powyższy fragment znalazł się tu przez przypadek, gdyż najwidoczniej zamiast Podgląd musiałem nacisnąć Wyślij. Sorry.
Mam
\angle ACP= \alpha  \wedge \angle APC= 2\alpha  \Rightarrow \angle BAC=\angle PAC= (\pi -3 \alpha )
Z tw. sinusów w trójkącie ACP mam:
\frac{1}{\sin ( \pi -3\alpha )} = \frac{\left| CA\right| }{\sin 2\alpha } \\
 \frac{1}{\sin 3\alpha } = \frac{ 7\cos  ( \pi -3\alpha )}{\sin 2\alpha }\\
\sin 2\alpha =7\sin 3\alpha (-\cos 3\alpha)\\ 
\sin 2\alpha = \frac{-7}{2} \sin 6\alpha \\ 
2\sin 2\alpha = -7( 3\sin 2\alpha \cos^2 2\alpha-\sin^3 2\alpha)\\
2=-7( 3 \cos^2 2\alpha-\sin^2 2\alpha)\\ 
2=-7( 4 \cos^2 2\alpha-1)\\ 
\cos^2 2\alpha= \frac{5}{28}\\
\cos 2\alpha = \sqrt{ \frac{5}{28}}  \vee \cos 2\alpha =- \sqrt{ \frac{5}{28}}


a)
zał: 0<\alpha < \frac{ \pi }{4} \wedge  \cos 2\alpha = \sqrt{ \frac{5}{28}}
\alpha = \arccos\sqrt{ \frac{1+ \sqrt{ \frac{5}{28} } }{2} } \approx 32^{\circ}30'
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(0,0.9136)--(6.94,0)--(0,0); 
\draw[blue](0,0)--(0.53732,0.84338);
\draw[red] (0,0)node[left] {$C$};
\draw[red] (0,0.9136)node[left] {$A$};
\draw[red] (6.94,0)node[right] {$B$};
\draw[red] (0.53732,0.84338)node[above] {$P$};
\end{tikzpicture}
Ale przypadek ten nie spełnia założenia \angle BAC< \frac{ \pi }{4}


b)
zał: \frac{ \pi }{4} <\alpha < \frac{ \pi }{3} \wedge  \cos 2\alpha = -\sqrt{ \frac{5}{28}}
\alpha = \arccos\sqrt{ \frac{1- \sqrt{ \frac{5}{28} } }{2} } \approx 57^{\circ}30'
A to rozwiązanie spełnia wszystkie założenia
\begin{tikzpicture}
\draw(0,0)--(0,0.9136)--(6.94,0)--(0,0); 
\draw[blue](0,0)--(0.53732,0.84338);
\draw[red] (0,0)node[left] {$C$};
\draw[red] (0,0.9136)node[left] {$B$};
\draw[red] (6.94,0)node[right] {$A$};
\draw[red] (0.53732,0.84338)node[above] {$P$};
\end{tikzpicture}
Z tw. sinusów w trójkącie ACP mam:
\frac{1}{\sin ( \pi -3\alpha )} = \frac{\left| AP\right| }{\sin \alpha } \\
 \frac{1}{\sin 3\alpha } = \frac{ \left| AP\right|}{\sin \alpha }\\
 \frac{1}{3\sin \alpha \cos^2 \alpha -\sin^3\alpha } = \frac{ \left| AP\right|}{\sin \alpha }\\
\left| AP\right|= \frac{1}{4 \cos^2 \alpha -1 }=\frac{1}{ 4 \cdot \frac{1- \sqrt{ \frac{5}{28} } }{2} -1 }=\frac{1}{ 1- \sqrt{ \frac{5}{7} }  }

\frac{\left| BP\right| }{\left| AP\right| }= \frac{7-\frac{1}{ 1- \sqrt{ \frac{5}{7} } }}{\frac{1}{ 1- \sqrt{ \frac{5}{7} }} }=7- \sqrt{35}\red-1=6- \sqrt{35}

Edit
Zrobiłem literówkę. Zamiast ją poprawiać dopisałem czerwony fragment w ostatnim wyrażeniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2017, o 09:33 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: ola
Dzięki Super
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 02:00 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Cyrklem i liniałem, nie używając miarki.
Na prostej n obieramy punkt C i wystawiamy w nim prostą m prostopadłą do n .
Na prostej n obieramy punkt A i promieniem równym przeciwprostokątnej o zadanej miierze |AB|
kreślimy łuk do którego przynależy koniec przeciwprostokątnej (punkt B ).
Z punktu C zataczemy krąg o promieniu r = |CB| któty przecina przeciwprostokątną w punkcie P . Tym samym rozstawieniem cyrkla ( |AB| ) zakreślamy okrąg. Korzystając z twierdzenia o kącie środkowym w okręgu konstruujemy taki kąt i jego podwojenie, \angle  \alpha   \ i \  \angle2 \alpha .
Równość odpowiednich kątów \angle ACP  = \angle PCE oraz \angle APC = \angle EPF jest widoczna na rysunku.

Stosunek długości odcinków przeciwprostokątnej AB na które dzieli ją punkt P jest równa stasunkowi ich miar k = \frac{|AP|}{|PB|} Do określenia jego wartości liczbowej trzeba już użyć dwuktotnie miarki i jeden raz kalkulatora, lub pamięci osobistej.

Ukryta treść:    
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt prostokątny - zadanie 151  Dominik J  6
 Trójkąt prostokątny - zadanie 40  RAFAELLO14  2
 Trójkąt prostokątny - zadanie 157  miczkaa  10
 Trójkąt prostokątny - zadanie 76  kasiapuszka  1
 trójkąt prostokątny - zadanie 44  oslidz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl