szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2017, o 19:33 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Brodnica
Mamy n różnych książek i k różnych półek. Kolejność książek na pólkach ma znaczenie.
a) Ile jest sposobów na umieszczenie książek na półkach?
b)Ile jest sposobów, jeśli półki nie mogą być puste?

Rozwiązanie wygląda następująco:

ad.a)
\[\frac{(n+k-1)!}{(k-1)!}\]

ad.b
\binom{n}{k} k!\[\frac{(n-1)!}{(k-1)!}\]

Czy jest ono poprawne? Wydaje mi się, że ono nie uwzględnia różnej kolejności książek na półkach.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2017, o 11:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
W pierwszym

\sum_{x_{1}+...+x_{k}=n}^{} {n \choose x_{1},x_{2},...,x_{k}} x_{1}! \cdot ... \cdot x_{k}!=n! \cdot  {n+k-1 \choose n}

W drugim analogicznie:

\sum_{x_{1}+...+x_{k}=n ,x_{i} \ge 1}^{} {n \choose x_{1},x_{2},...,x_{k} } x_{1}! \cdot ... \cdot x_{k}!=n! \cdot  {n-1 \choose k-1}

poprawa wiadomości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2017, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: obecnie Łódź
a)
niech \cdot oznacza książkę, a \setminus oznacza półkę. Stosujemy konwencję, że zapis np. \setminus  \cdot  \cdot  \setminus  \setminus  \cdot oznacza, że na pierwszej półce są 2 książki, na drugiej ani jednej, na trzeciej jest jedna.
Najpierw wybieramy sekwencję złożoną ze znaków \cdot oraz \setminus, przy czym musi się ona zaczynać od \setminus. Sprowadza się to do określenia k-1 miejsc dla symboli \setminus wśród n+k-1 wszystkich miejsc. Możemy to zrobić na {n+k-1 \choose k-1} sposobów. Podany wzór otrzymamy po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie.

b)
Najpierw na każdą półkę położymy książkę. Wybieramy więc k książek na {n \choose k} sposobów. Domnażamy przez k!, aby uwzględnić kolejność. Pozostaje nam n-k książek do rozstawienia na k półkach. Postępując jak w a), tym razem mamy (n-k)+k-1=n-1 miejsc, na których mamy ustawić tym razem k-1 par symboli \setminus  \cdot (bo na każdej półce już jest książka). Po domnożeniu przez (n-k)! (uwzględniamy kolejność książek, które pozostały), otrzymujemy żądany wzór.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 10:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
co do a).Ten wzór już się sypie przy np: 2 półkach i 3 książkach.

\1,2,3\
\\ - tu już masz 6 możliwości


\\
\1,2,3\ - tu też 6 możliwości

teraz na górnej jest dwie książki a na dolnej jedna jest już też sześć możliwości + na odwrót kolejne sześć masz już 24 możliwości a teraz z twego wzoru:

{2+3-1 \choose 2-1}=4

lipa...

Nie uwzględniasz, że półki i książki są rozróżnialne więc każde ułożenie jest inne

Jest tu złożenie kombinacji z powtórzeniem wraz z permutacjami na półkach...
w moim wzorze jest to założenie wzięte pod uwagę!

w b). pewnie też nie będzie lepiej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 10:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6330
a):    


b):    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 10:51 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: obecnie Łódź
arek1357, podstawiłeś pod zły wzór. Moje wzory są dokładnie takie, jak w pierwszym poście. Ja napisałem do nich uzasadnienie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 10:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Gdzie jest źle w moim wzorze?


dla n=3, k=2 wychodzi 24 tyle ile ma być u ciebie nie, wzór kerajsa jest też ok , wychodzi to samo

U mnie jest prosto łączę kombinacje z permutacjami i wszystko trybi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 10:59 
Użytkownik

Posty: 149
Lokalizacja: obecnie Łódź
Chodzi mi o to, że tutaj, chcąc liczyć z mojego wzoru, użyłeś złego wzoru:

arek1357 napisał(a):
{2+3-1 \choose 2-1}=4


Bo ja napisałem:

tomwanderer napisał(a):
Możemy to zrobić na {n+k-1 \choose k-1} sposobów. Podany wzór otrzymamy po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie.


Pisząc "podany" mam na myśli ten z pierwszego posta. "Po uwzględnieniu, że kolejność książek ma znaczenie", czyli po przemnożeniu przez n!.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ksiązki na półkach - zadanie 5  PrOmil  2
 książki na półkach - zadanie 2  malek  0
 Książki na półkach - zadanie 3  joksiu  2
 książki na półkach  panisiara  0
 książki na półce - zadanie 5  humax  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl