szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Zamość
Otóż chodzi o zadanie z wojewódzkiego konkursu kuratoryjnego z woj. mazowieckiego. Zadanie brzmi tak:
"Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej n liczba: n^{3}+3n^{2}-n-3 jest podzielna przez 8."
W modelu odpowiedzi znajduje się takie oto rozwiązanie:
"1. Pogrupowanie wyrazów i zapisanie wyrażenia w postaci iloczynu n^{3}+3n^{2}-n-3 = (n+3)(n^{2}-1)=(n-1)(n+1)(n+3).
2. Zauważenie, że czynniki w tym iloczynie, to kolejne liczby naturalne parzyste: (n-1), (n+1), (n+3).
3. Wyciągnięcie poprawnego wniosku:
Wśród trzech kolejnych liczb parzystych na pewno jedna dzieli się przez 2 i jedna dzieli się przez 4. Zatem wyrażenie będące iloczynem tych liczb dzieli się przez 8."
Ja rozwiązałem to zadanie tak:
"Uznajmy, że n=2k-1.
n^{3}+3n^{2}-n-3 = (2k-1)^{3}+3(2k-1)^{2}-(2k-1)-3=
=(4k^{2}-4k+1)(2k-1)+3(4k^{2}-4k+1)-2k+1-3=
=8k^{3}-4k^{2}-8k^{2}+4k+2k-1+12k^{2}-12k+3-2k+1-3=8k^{3}-8k=8(k^{3}-k).
Czy takie rozwiązanie jest pełne, czy brakuje jakichś szczegółów, za które nie dostałbym maksymalnej liczby punktów? Dziękuję za odpowiedź! :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 28 cze 2017, o 21:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10603
Lokalizacja: Wrocław
Moim zdaniem to rozwiązanie jest jak najbardziej poprawne i pełne (oczywiście k \in \NN).
Tak jak w odpowiedziach jest szybciej, ale jak widać da się inaczej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2017, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Zamość
Bardzo dziękuję za odpowiedź. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 Czy liczba jest całkowita  seti  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl