szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lip 2017, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 6
Dzień dobry,
Prosiłbym o pomoc w zrozumieniu niżej przedstawionych przykładów.

1. Wykaż, że jeżeli \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}+  \sqrt[3]{z}= 0 to (x+y+z)^{3}= 27 xyz

Mój tok rozumowania wyglądał następująco:
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} = 0  \Rightarrow  \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = - \sqrt[3]{z}  \Rightarrow x+3 x^{2/3}y ^{1/3}+3x ^{1/3}y ^{2/3}+y=-z \Rightarrow x+y+z=-(3x ^{2/3}y ^{1/3}+3x ^{1/3}y ^{2/3})  \Rightarrow (x+y+z) ^{3}=-(27x ^{2}y+81x ^{5/3}y ^{1/3}+81x ^{4/3}y ^{5/3}+27xy ^{2}) \Rightarrow (x+y+z) ^{3} = -27xy(x+3x ^{2/3}y ^{1/3} + 3x ^{1/3}y ^{2/3}+y) \Rightarrow (x+y+z) ^{3} = -27xy(-z)  \Rightarrow (x+y+z) ^{3} = 27xyz

I z tego rozumiem dowód jest przeprowadzony poprawnie (jeśli się mylę to proszę o wskazanie gdzie popełniłem błąd, zaś jeżeli jest on poprawny to potwierdzenie tego faktu jest równie mile widziane). Problem polega na tym, iż wg odpowiedzi do tego zadania dowód powinien wyglądać następująco:
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} = 0  \Rightarrow  (\sqrt[3]{x})  ^{3}+ (\sqrt[3]{y})  ^{3}+ (\sqrt[3]{z})  ^{3}=3 \cdot  \sqrt[3]{x}  \cdot  \sqrt[3]{y}  \cdot  \sqrt[3]{z}, czyli:x+y+z=3 \cdot  \sqrt[3]{xyz}=(x+y+z) ^{3}=27xyz

Co wydaje się sposobem szybszym i lepszym, z tym że.. kompletnie nie jestem w stanie tego zrozumieć, chodzi mi o pierwszą implikację - w jaki sposób z przyrównania tej sumy do zera wynika, że suma sześcianów tych składników jest równa 3 \cdot  \sqrt[3]{x}   \cdot   \sqrt[3]{y}  \cdot  \sqrt[3]{z}? Będę wdzięczny za łopatologiczną odpowiedź.

2. Rozłóż na czynniki
(a-b) ^{3}+(b-c) ^{3} + (c-a) ^{3}
(a-b) ^{3}+(b-c) ^{3} + (c-a) ^{3} = a ^{3} -3 a^{2} b + 3ab ^{2} -b ^{3} +b ^{3} -3b ^{2} c+3bc ^{2} -c ^{3} +c ^{3} -3c ^{2}a + 3ca ^{2} -a ^{3} = -3a ^{2} b+3ab ^{2} -3b ^{2} c+3bc ^{2} -3c ^{2} a+3ca ^{2} = 3(-a ^{2} b+ab ^{2} -b ^{2} c + bc ^{2}  - c ^{2} a + ca ^{2}) = 3(ab(b-a)-bc(b-c)-ac(c-a))
Tutaj moje pytanie jest proste - co dalej?

Za wszelką pomoc z góry dziękuję.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lip 2017, o 13:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10228
Lokalizacja: Wrocław
1. Nie widzę błędów. Można dojść też do tożsamości a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) (ten iloczyn czynników w nawiasach ładnie się upraszcza po wymnożeniu, ale nie trzeba wymnażać po kolei, by to zauważyć), podstawić a=\sqrt[3]{x}, b=\sqrt[3]{y}, c=\sqrt[3]{z}, skorzystać z założenia, po czym podnieść stronami do 3. potęgi.

2. Rozważmy wielomian W(a)=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3
Wówczas W(c)=0, W(b)=0 oraz łatwo widać (redukuje się a^3), że W(a) jest wielomianem stopnia 2. Zatem
W(a)=(-3b+3c) (a-b)(a-c)
- korzystamy z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego. Trzeba było tylko policzyć, że z pierwszego nawiasu otrzymamy składnik -3a^2b=a^2\cdot(-3b), a z trzeciego składnik
3ca^2, więc współczynnik przy najstarszej potędze jest równy -3b+3c

-- 2 lip 2017, o 13:19 --

Aha, w zadaniu 2. można też po prostu zauważyć, że (a-b)+(b-c)+(c-a)=0,
więc z rozważań z poprzedniego zadania mamy
(a-b)^3+(b-c)63+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lip 2017, o 14:39 
Użytkownik

Posty: 6
Dziękuję za szybką odpowiedź, ale.. z tego co widzę problem rozwiązanie obydwóch przykładów sprowadza się do "dojścia do tożsamości": a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} = 3abc (przy założeniu, że a+b+c=0), która zresztą była zawarta w moim pierwszym poście (w nieco innej formie), ale tak naprawdę nie wnosi to nic do mojego pytania zasadniczego - skąd się to wzięło i w jaki sposób do tej tożsamości dojść można? Jeżeli nie byłby to dla Pana problem to proszę o rozjaśnienie tej kwestii.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lip 2017, o 15:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10228
Lokalizacja: Wrocław
No przecież przedstawiłem rozwiązanie zadania 2. bez tej tożsamości, choć nieco mniej eleganckie, to też krótkie.

To, że jeśli a+b+c=0, to a^3+b^3+c^3=3abc, można wyprowadzić na kilka sposobów:
a) Jak już wspomniałem, można użyć tożsamości
a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
- wystarczy wymnożyć te nawiasy i wychodzi (choć jest to żmudne).

b) Załóżmy, że a+b+c=0. Rozważmy wielomian W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc
Mamy
0=W(a)+W(b)+W(c)=\\=a^3-\underbrace{(a+b+c)}_{=0}a^2+(ab+bc+ca)a-abc+\\+b^3-\underbrace{(a+b+c)}_{=0}b^2+(ab+bc+ca)b-abc+c^3-\underbrace{(a+b+c)}_{=0}c^2+(ab+bc+ca)c-abc=\\=a^3+b^3+c^3+(ab+bc+ca)\underbrace{(a+b+c)}_{=0}-3abc
stąd przenosząc na drugą stronę dostajemy a^3+b^3+c^3=3abc

i pewnie jeszcze jakiś się znajdzie (te są dość żmudne).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 07:09 
Użytkownik

Posty: 550
Lokalizacja: Polska
Tożsamość warunkowa.
Jeśli \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}+ \sqrt[3]{z}= 0 to (x+y+z)^{3}= 27 xyz

Dane:
\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}+ \sqrt[3]{z}= 0 \ \ \therefore \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}= -\sqrt[3]{z}
\\
\\
(\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y})^3= (-\sqrt[3]{z})^3 \ \ \because \text{podnosimy obie strony do sześcianu}\\
\\
x+y+3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot (\sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y})=-z\\
\\
x+y+3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot (-\sqrt[3]{z})=-z \ \  \because \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}= -\sqrt[3]{z}\\
\\
x+y-3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{z}=-z\\
\\
x+y+z=3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{z} \ \ \because \text{podnosimy obie strony do sześcianu}\\
\\
(x+y+z)^3=(3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{z})^3\\
\\
(x+y+z)^3=27xyz
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 07:52 
Użytkownik

Posty: 12839
Lokalizacja: Bydgoszcz
Elayne napisał(a):
Tożsamość warunkowa.
Jeśli \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}+ \sqrt[3]{z}= 0 to (x+y+z)^{3}= 27 xyz

.....


Czy tylko mi się zdaje, czy przepisałeś rozumowanie z pierwszego posta?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 08:39 
Użytkownik

Posty: 550
Lokalizacja: Polska
Odpowiedź masz w pierwszym poście:
SnowBird napisał(a):
Problem polega na tym, iż wg odpowiedzi do tego zadania dowód powinien wyglądać następująco:
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} = 0  \Rightarrow  (\sqrt[3]{x})  ^{3}+ (\sqrt[3]{y})  ^{3}+ (\sqrt[3]{z})  ^{3}=3 \cdot  \sqrt[3]{x}  \cdot  \sqrt[3]{y}  \cdot  \sqrt[3]{z}, czyli:x+y+z=3 \cdot  \sqrt[3]{xyz}=(x+y+z) ^{3}=27xyz

Co wydaje się sposobem szybszym i lepszym, z tym że.. kompletnie nie jestem w stanie tego zrozumieć, chodzi mi o pierwszą implikację - w jaki sposób z przyrównania tej sumy do zera wynika, że suma sześcianów tych składników jest równa 3 \cdot  \sqrt[3]{x}   \cdot   \sqrt[3]{y}  \cdot  \sqrt[3]{z}? Będę wdzięczny za łopatologiczną odpowiedź.

x+y+z=3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{z} \Rightarrow (\sqrt[3]{x}) ^{3}+ (\sqrt[3]{y}) ^{3}+ (\sqrt[3]{z}) ^{3}=3 \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{z}

Co do tożsamości: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} = 3abc wystarczy wyjść z: a+b+c=0 zamiast \sqrt[3]{x}+ \sqrt[3]{y}+ \sqrt[3]{z}= 0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozkład na czynniki - zadanie 44  natia1991  1
 Rozłożenie wyrażenia na czynniki  pawel2112  7
 Problem z rozłożeniem wyrażenia na czynniki  kaptel  9
 Rozłóż na czynniki. - zadanie 2  owle  1
 rozloz na czynniki wyrazenia  woznyadam  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl