szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lip 2017, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 129
Lokalizacja: Warszawa
Liczba y jest odwrotna do liczby y, jeżeli xy = 1
Więc liczba odwrotna do liczby zero nie istnieje zgodnie z aksjomatem:
a \cdot 0 = 0, dla a  \in  \RR

Więc musiałaby istnieć liczba a, taka że a \cdot 0 = 1, co prowadzi do sprzeczności.


Natomiast z liczbą przeciwną do 0 jest ciekawiej:
bo liczbą przeciwną do a jest taka liczba -a, że zachodzi:
a+(-a) = 0
0 + (-0) = x
0 - 0 = x
x = 0

ale tutaj pojawia się pytanie co to jest liczba -a, bo ja rozumiem to jako: -1 \cdot a, wówczas powyższy zapis ma sens (?), jeżeli co innego to pytanie do Was - co?

No i czy zapis -0 jest poprawny formalnie, co o tym myślą matematycy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 17:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17735
Lokalizacja: Cieszyn
Liczba przeciwna do a to taka liczba b, że a+b=0. Formalnie więc wychodzi b=-a. To jest własność grupy addytywnej. A to, że -a=(-1)\cdot a wiąże jeszcze mnożenie i jego rozdzielność względem dodawania czyli zaprzęga do roboty jeszcze własności pierścienia. Moim zdaniem w opisanym kontekście niepotrzebnie.

Reasumując a+(-a)=0 i to jest własność tylko i wyłącznie grupy addytywnej. Nazwijmy -a taki element b, że a+b=0. I tu nie ma mnożenia, a tylko nazwa.

Oczywiście zapis -0 jest poprawny. Przecież 0+0=0 bo 0 jest elementem neutralnym dodawania (a+0=a dla każdego a więc dla a=0 mamy 0+0=0). Skoro 0+{\color{red}0}=0, to -0={\color{red}0}.

Dlaczego -a=(-1)\cdot a? Np. dlatego, że a+(-1)\cdot a=1\cdot a+(-1)\cdot a=(1-1)\cdot a=0\cdot a=0. Tak więc (-1)\cdot a jest liczbą przeciwną do a i można zapisać (-1)\cdot a=-a. Widzisz, że korzystałem tu z rozdzielności mnożenia względem dodawania. W grupach taki zabieg nie jest możliwy - w grupie nie ma drugiego działania. Musimy wejść przynajmniej w pierścień.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lip 2017, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 129
Lokalizacja: Warszawa
szw1710 napisał(a):
W grupach taki zabieg nie jest możliwy - w grupie nie ma drugiego działania. Musimy wejść przynajmniej w pierścień.


Tak, działam oczywiście w \RR cały czas.

Dziękuję za odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 17:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17735
Lokalizacja: Cieszyn
To co napisałem stosuje się też w \CC oraz w każdym pierścieniu z jedynką. Powiedzmy że dla ułatwienia w przemiennym. Np. 1\cdot a=a, bo 1 jest elementem neutralnym mnożenia. W pierścieniu nieprzemiennym trzeba by pisać 1\cdot a=a\cdot 1=a. Ale dla zrozumienia tych wywodów wystarczy ograniczyć się do pierścieni przemiennych (z jedynką).

Ogólnie w definiowaniu pierścienia panuje chaos. Jedni dopuszczają jedynkę, inni nie. Jedni postulują przemienność, inni nie. Gdy studiowałem, wykładowca jako pierścień rozumiał pierścień przemienny z jedynką.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lip 2017, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 129
Lokalizacja: Warszawa
szw1710 napisał(a):
To co napisałem stosuje się też w \CC oraz w każdym pierścieniu z jedynką.


Zdaję sobie z tego sprawę, tym bardziej w ciele \RR, czyż nie?
Niemniej dziękuję. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 18:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17735
Lokalizacja: Cieszyn
Oczywiście że tak. Ja tylko chciałem zwrócić uwagę na ogólniejszy charakter tych rozważań. Czasem warto to tak opisać. Nie ma sprawy - cała przyjemność po mojej stronie.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lip 2017, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 129
Lokalizacja: Warszawa
:)
To może przy okazji się jeszcze podpytam o zbiór liczb naturalnych (\NN), jest on jakoś zdefiniowany czy też jest pojęciem pierwotnym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 18:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17735
Lokalizacja: Cieszyn
Kronecker powiedział, że liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a reszta jest dziełem człowieka,

A poważnie - poczytaj o aksjomatach Peano. One określają nam własności działań na liczbach naturalnych. Generalnie chodzi o pojęcie następnika.

Liczby naturalne można zdefiniować przez operacje na zbiorze pustym. Na ten temat możesz obejrzeć filmik na moim blogu: http://byc-matematykiem.pl/cos-z-niczego/ Opowiada Michał Szurek.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 lip 2017, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 129
Lokalizacja: Warszawa
Bardzo ciekawy wykład, ale cóż - mam kolejne pytanie teraz dotyczące owego wykładu. Otóż na samym końcu wykładu, prowadzący pokazuje równanie i obrazuje go kwadratem, przy czym pole kwadratu nie jest współmierne temu równaniu, gdzie zamiast 9-ki pojawiła się 8-ka.
Czy czegoś (jak to zwykle ja) nie zrozumiałem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lip 2017, o 20:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17735
Lokalizacja: Cieszyn
Tam ma być 9 bo ten mały kwadrat jest 3\times 3. Kontekst jest inny. W samym równaniu będzie 8. Posłuchaj tego fragmentu jeszcze raz.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 4 lip 2017, o 02:06 
Użytkownik

Posty: 129
Lokalizacja: Warszawa
Ahh, racja!
Z tym, że wydaje się to być mało intuicyjne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2017, o 08:17 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12706
Lokalizacja: Kraków
Rozbitek napisał(a):
Więc musiałaby istnieć liczba a, taka że a \cdot 0 = 1, co prowadzi do sprzeczności.

Dla liczb rzeczywistych istotnie tak jest.

Zachaczając jednak o bardziej teoretyczny aspekt, może się zdarzyć, że 0_P=1_P, gdzie 0_P jest elementem neutralnym działania +, a 1_P elementem neutralnym działania \ast (to nie muszą być konieczne dodawanie i mnożenie!).

Polecam poszukać prostego przykładu pierścienia P z 0_P=1_P.

szw1710 napisał(a):
Ogólnie w definiowaniu pierścienia panuje chaos. Jedni dopuszczają jedynkę, inni nie. Jedni postulują przemienność, inni nie. Gdy studiowałem, wykładowca jako pierścień rozumiał pierścień przemienny z jedynką.

Prawda :) U mnie pierścień nie musiał być przemienny i chyba nie musiał mieć jedynki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2017, o 09:10 
Użytkownik

Posty: 12917
Lokalizacja: Bydgoszcz
yorgin napisał(a):

szw1710 napisał(a):
Ogólnie w definiowaniu pierścienia panuje chaos. Jedni dopuszczają jedynkę, inni nie. Jedni postulują przemienność, inni nie. Gdy studiowałem, wykładowca jako pierścień rozumiał pierścień przemienny z jedynką.

Prawda :) U mnie pierścień nie musiał być przemienny i chyba nie musiał mieć jedynki.


A ja miałem dobrego wykładowcę od algebry, który w każdym przypadku starannie podkreślał które własności pierścienia są w danym zagadnieniu potrzebne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij nierówność z liczbą Eulera  kamil13151  1
 Udowodnij, że liczba jest naturalna  Tula  1
 Sprawdź, która liczba jest większa - zadanie 2  Celmer12  1
 dla jakich n liczba jest kwadratem liczby naturalnej  kolanko  2
 Dla jakich "a" liczba należy do zbioru  Neil2121  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl