szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2017, o 07:31 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Cześć mam problem z jednym zadaniem .
Mam rozwiązać równanie rekursji.
T(0)=1  \\
 T(n) = 2  \cdot  T(n-1) + (-1) ^{n}

Mam też wzór za pomocą mogę to rozwiązać, ale nic z tego nie kapuje... :o

T(n) = c  \cdot  a^k + \sum_{j=0}^{k-1} a ^{i}  \cdot  d(b ^{k-i} )
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2017, o 18:20 
Gość Specjalny

Posty: 5746
Lokalizacja: Toruń
Czy na pewno dobrze to przepisałeś? Mamy (-1)^9 = -1 i wtedy rekurencję rozwiążesz względnie łatwo metodą podstawiania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2017, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Nie wiem skąd wzięła się tam ta 9 :O
Teraz poprawiłem wzór, zamiast 9 jest n.
Kobieta na ćwiczeniach podstawiła to równanie pod podany niżej wzór i zadanie rozwiązane, a ja nie mam pojęcia jak to zrobić...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2017, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 12039
Możesz opisać, co ma reprezentować ten podany przez Ciebie wzór? Bo niestety go nie znam, więc nie mam pojęcia, co miałby on dać.

Żeby nie było, że spamuję, to zadanie można rozwiązać również tak:
metodą funkcji tworzących
T(n)=2T(n-1)+(-1)^n\\T(n+1)=2T(n)+(-1)^{n+1}\\ T(n+1)x^n=2T(n)x^n+(-1)^{n+1}x^n\\ \sum_{n=0}^{ \infty }T(n+1)x^n=2 \sum_{n=0}^{ \infty }T(n)x^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^{n+1}x^n \bigg|\bigg| \cdot x\\ \sum_{n=0}^{ \infty }
T(n+1)x^{n+1}=2x \sum_{n=0}^{ \infty }T(n)x^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }(-x)^{n+1}\\ \text{ oznaczmy } G(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }T(n)x^n\\ G(x)-T(0)=2xG(x)- \frac{x}{1+x}\\ G(x)(1-2x)=T(0)+ \frac{-1-x+1}{1+x}\\G(x)= \frac{1}{(1+x)(1-2x)}= \frac{\frac{1}{3}(1-2x)+\frac{2}{3}(1+x)}{(1+x)(1-2x)}\\G(x)= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-(-x)}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{1-2x} \\G(x)=  \sum_{n=0}^{ \infty } \frac 1 3\cdot (-1)^n x^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac 2 3\cdot 2^n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac 1 3\cdot (-1)^n+\frac 2 3\cdot 2^n\right)x^n\\ T(n)=\frac 1 3\cdot (-1)^n+\frac 2 3\cdot 2^n
Kluczowe były w tym rozwiązaniu dwie rzeczy:
wykorzystanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego
\sum_{n=0}^{ \infty } ax^{n}= \frac{a}{1-x}, |x|<1
oraz rozkład na ułamki proste (ten ułamek z \frac{1}{(1+x)(1-2x)}), patrz:
298450.htm
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 równanie z silnią  rObO87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl