szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2017, o 11:38 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: ola
Niech a,b,c \in [1,4]
Pokaż że \frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c} +  \frac{c}{2c+5a}  \ge  \frac{38}{39}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2017, o 11:52 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Rachunek różniczkowy pomaga znaleźć minimum w punkcie (a,b,c) = (1,2,4).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2017, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: ola
Jak zastosowałes rachunek rózniczkowy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2017, o 15:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
można tak to udowodnić:

jeśli a\ge c, to \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{2c+5a} \ge \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+a} = 1 \ge \frac{38}{39} i wtedy jest ok

w przeciwnym przypadku c>a i wtedy dowodzimy sobie na boku, że \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\ge\frac{2\sqrt a}{\sqrt a + \sqrt c}:

\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c} - \frac{2\sqrt a}{\sqrt a + \sqrt c} = \frac{(c-a)(b-\sqrt{ac})^2}{(a+b)(b+c)(\sqrt a + \sqrt c)^2} \ge 0

wobec tego \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{2c+5a} \ge \frac{2\sqrt a}{\sqrt a + \sqrt c} + \frac{c}{2c+5a} i wystarczy dowieść, że \frac{2\sqrt a}{\sqrt a + \sqrt c} + \frac{c}{2c+5a}\ge \frac{38}{39}

oznaczmy t=\sqrt{\frac ca}, wtedy t\le 2 gdyż a,c \in [1,4]

\frac{2\sqrt a}{\sqrt a + \sqrt c} + \frac{c}{2c+5a}-\frac{38}{39} = \frac{2}{1+t}+\frac{t^2}{2t^2+5}-\frac{38}{39} = \frac{(2-t)(37t^2-45t+100)}{39(t+1)(2t^2+5)} \ge 0 i już!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierówność - dowód - zadanie 5  ct985  5
 nierówność - dowód - zadanie 11  maximum2000  1
 Nierówność - dowód  rutterkin  2
 nierówność - dowód - zadanie 2  marek12  0
 nierówność - dowód - zadanie 3  robin5hood  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl