szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2017, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Sosnowiec
Cześć!

Mam taki szereg:
\sum_{k = 0}^{n}   3^{k} \cdot (n-k)

Zastanawiam się w jaki sposób przekształcić taki szereg w wyrażenie arytmetyczne zależne od n?

Z góry dzięki za pomoc! :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2017, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 12615
\sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)=\sum_{k = 0}^{n} 3^{n-k} \cdot k=3^n \sum_{k=0}^{n}3^{-k} \cdot k
zaś tę sumę:
\sum_{k=0}^{n}3^{-k} \cdot k
można policzyć metodą zaburzania sum. Oznaczmy S_n=\sum_{k=0}^{n}3^{-k} \cdot k
Wówczas
\frac 1 3 S_n= \sum_{k=0}^{n}3^{-k-1} \cdot k=\\=  \sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}\cdot (k+1-1)=\\=\sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}\cdot(k+1)-  \sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}=S_{n+1}- \sum_{k=1}^{n+1}\left( \frac 1 3\right)^k
ale przecież S_{n+1}=S_n+(n+1)3^{-(n+1)}
więc otrzymujesz
\frac 1 3 S_n=S_n+(n+1)3^{-(n+1)}-\sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}
a stąd możesz wyliczyć S_n
Aha, oczywiście \sum_{k=0}^{n}3^{-(k+1)}
zwijasz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2017, o 18:56 
Użytkownik

Posty: 15238
Lokalizacja: Bydgoszcz
To nie jest szereg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2017, o 18:57 
Użytkownik

Posty: 12615
tys prowda
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2017, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 30
Lokalizacja: Sosnowiec
Premislav napisał(a):
\sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)=\sum_{k = 0}^{n} 3^{n-k} \cdot k


Jedyne przekształcenie którego do końca nie rozumiem. Mógłby ktoś rozwinąć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2017, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 12615
Po prostu odwróciłem kolejność sumowania.
\sum_{k = 0}^{n} 3^{k} \cdot (n-k)=\\=3^0 \cdot (n-0)+3^1\cdot(n-1)+\dots+3^{n-1}\cdot(n-(n-1))+3^n\cdot (n-n)=\\=3^n\cdot(n-n)+3^{n-1}\cdot(n-(n-1))+\dots+3^1\cdot(n-1)+3^0\cdot n=\\=\sum_{k = 0}^{n} 3^{n-k} \cdot k

Nie lubię tych wielokropków, ale tak najłatwiej jest pokazać, na jakiej zasadzie się to odbywa. To nic subtelnego, to tak jakbym zapisał 3+2+1 zamiast 1+2+3, tylko w notacji sumacyjnej z sigmą.
Może warto tu dodać, że, jak słusznie zwrócił uwagę a4karo, to, że tutaj się pojawia znak sigmy, nie oznacza, że mamy do czynienia z szeregiem (to ogólne oznaczenie sumy).
Notacja z sigmą została pokrótce omówiona np. tutaj czy też tu.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma pewnego szeregu  edward_p  1
 wzor na sume czesciowa szeregu - zadanie 14  akslop  1
 wzór na sumę częściową szeregu - zadanie 13  akslop  8
 Suma szeregu geometrycznego - zadanie 7  matinf  3
 liczba sposobów ustawienia w szeregu  dżi-unit  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl