szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2017, o 19:02 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Toruń
a,b \in \RR

a ^{2} +ab+b ^{2}  \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2017, o 19:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5698
a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}  \left( a^2+b^2 \right) +\frac{1}{2}  \left( a^2+2ab+b^2 \right) =\frac{1}{2}  \left( a^2+b^2 \right) +\frac{1}{2}  \left( a+b \right) ^2 \ge 0

Edit:
a^2+ab+b^2= \left( a+ \frac{b}{2}  \right) ^2+ \frac{3b^2}{4} = \left( b+ \frac{a}{2}  \right) ^2+ \frac{3a^2}{4}  \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2017, o 19:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 711
Lokalizacja: hrubielowo
Można policzyć deltę na przykład jeśli potraktujemy to jak równanie kwadratowe zmiennej a z parametrem b wtedy \Delta_a=b^2-4b^2=-3b^2 \le 0 co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 lip 2017, o 23:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10811
Lokalizacja: Wrocław
a ^{2} +ab+b ^{2} \ge 0
Nierówność jest symetryczna, więc bez straty ogólności niech |a| \le |b|
Jeżeli b=0, to nierówność sprowadza się od oczywistego a^2 \ge 0.
Załóżmy teraz, że b \neq 0 i podzielmy nierówność z tezy stronami przez b^2.
Otrzymamy wówczas równoważną wyjściowej nierówność
\left( \frac a b\right)^2+\frac a b+1 \ge 0
Podstawmy t=\frac a b i mamy t^2+t+1 \ge 0
Ponieważ jednak zakładamy |a| \le |b|, to |t| \le 1, w szczególności t \ge -1,
więc t^2+t+1 \ge t+1 \ge 0
co kończy dowód. I nie trzeba liczyć delty. :D Jednak rozwiązanie usera kerajs zdecydowanie najprostsze.

-- 9 lip 2017, o 00:35 --

Połóżmy a=r\cos \varphi, b=r\sin \varphi, r \ge 0, \varphi \in [0,2\pi)
i mamy nierówność
r^2+r^2 \cos \varphi \sin \varphi \ge 0
Jeśli r=0, to koniec, teza zachodzi, jeśli r >0, to równoważnie możemy podzielić przez r^2 stronami, co daje 1+\cos \varphi \sin \varphi \ge 0
ale ta nierówność jest oczywista, bo
\cos \varphi \in [-1,1], \sin \varphi \in [-1,1], toteż \cos \varphi\sin \varphi \ge -1
c.k.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2017, o 02:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 808
Lokalizacja: MiNI PW
Premislav napisał(a):
Połóżmy a=r\cos \varphi, b=r\sin \varphi, r \ge 0, \varphi \in [0,2\pi)

A skąd wiadomo, że ma zachodzić a^2+b^2=1?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 9 lip 2017, o 05:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10811
Lokalizacja: Wrocław
a^2+ab+b^2 jest wyrażeniem jednorodnym stopnia 2., więc możemy tak przyjąć bez zmniejszenia ogólności (skoro prawa strona jest zerem i zachodzi to o czym wspomniałem, to nierówność dla liczb a, b dla \eta>0 jest równoważna nierówności dla liczb \frac a \eta, \frac b \eta, więc jeśli a^2+b^2=\eta^2, \ \eta>0, to wystarczy zastąpić liczby a, b liczbami \frac{a}{\eta}, \frac{b}{\eta}). Ale zdecydowanie trzeba to napisać, dzięki.
No i jednak oddzielnego rozpatrzenia wymaga a=b=0, co przeoczyłem, ale wówczas nierówność jest oczywista (tylko że ona w ogóle jest oczywista, więc takie przeoczenie to istotny błąd, niestety).

-- 9 lip 2017, o 06:08 --

Właściwie to z uwagi na to co napisałem, po rozważeniu trywialnego przypadku a=b=0 możemy podstawić a=\cos \varphi, b=\sin \varphi...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2017, o 07:19 
Użytkownik

Posty: 13580
Lokalizacja: Bydgoszcz
Bez zmniejszania ogólności można przyjąć, że |a|\geq |b|.

wtedy
a^2+ab+b^2\geq a^2+ab\geq |a|^2-|a||b|=|a|(|a|-|b|)\geq 0

-- 9 lip 2017, o 08:22 --

Albo tak: dla ab\geq 0 nierówność jest trywialna. A przy ab<0 mamy
a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab>0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2017, o 07:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 711
Lokalizacja: hrubielowo
Z symetrii bez straty ogólności niech a \ge b wtedy mnożąc stronami przez a-b \ge 0 nie zmienimy znaku

(a-b)(a^2+ab+b^2) \ge 0

a^3-b^3 \ge 0

a^3 \ge b^3

a \ge b

cnd.

Można nie powoływać się na symetrie i analogicznie sprawdzić przypadek a \le b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lip 2017, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 153
Lokalizacja: brak
Lider_M napisał(a):
Premislav napisał(a):
Połóżmy a=r\cos \varphi, b=r\sin \varphi, r \ge 0, \varphi \in [0,2\pi)

A skąd wiadomo, że ma zachodzić a^2+b^2=1?


Przecież Premislav nigdzie nie zakłada, że a^2+b^2 = 1, tylko, że a^2+b^2 = r^2. Dla każdej pary liczb rzeczywistych (a,b) istnieje takie \varphi oraz r \ge 0.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 10 lip 2017, o 17:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10811
Lokalizacja: Wrocław
lolks123, słuszna uwaga, już sam się dałem wkręcić, bo zobaczyłem ten post pięć minut po przebudzeniu (na pewno nie było to Przebudzenie Mocy, hehe).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2017, o 00:17 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Toruń
Czy moze byc tak banalnie

\left(  \frac{a}{2} + b  \right)  ^{2} +  \frac{3}{4} a ^{2}  \ge 0

PS sorry za odświeżanie tematu
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lip 2017, o 00:47 
Użytkownik

Posty: 1284
To rozwiązanie jest poprawne i już obecne - w drugim poście.

Tak też można: \frac{3(a+b)^2+(a-b)^2}{4}\ge 0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż ze nierówność jest prawdziwa  Spadomiś  2
 Wykaż że nierówność jest prawdziwa  kamilka257  1
 WYkaż że nierówność jest prawdziwa - zadanie 2  Katee  2
 wykaż że nierówność jest prawdziwa - zadanie 3  davidd  7
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl