szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2017, o 22:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Witam. Chciałbym skierować zapytanie, szczególnie do obeznanych z pozycją "Wędrówki po krainie nierówności" pana Leva Kourliandtchik-a.
I wybaczcie ścianę tekstu, miałem problem wyrazić mój... problem :( . Fafnaście razy to przeredagowywałem :cry: .

Zacząłem się trochę bawić tą legendarną książką w zeszłym tygodniu i mam tu problem z podrozdziałem o "wyrażeniach jednorodnych".
Przykład otwierający podrozdział brzmi:
Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb a, b i c spełniających warunek a+b+c=1 zachodzi nierówność a^2+b^2+c^2+ \sqrt{12abc} \leq 1.
Weźmy taki dowód:
a^2+b^2+c^2+ \sqrt{12abc} \leq 1 \Leftrightarrow 1-(a^2+b^2+c^2) \geq \sqrt{12abc}
Z warunku a+b+c=1 mamy 1-(a^2+b^2+c^2) \geq \sqrt{12abc(a+b+c)} \Leftrightarrow
(a+b+c)^2-a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{12abc(a+b+c)}
I teraz: ostatnia nierówność jest równoważna nierówności z tezy. Ale ta ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa dla dowolnych a, b, c, zatem (co ważne) w szczególności dla a, b, c takich, że a+b+c=1

Ukryta treść:    


Czy taki dowód jest poprawny??

Dowód książkowy przebiega prawie identycznie, z tym, że: Po doprowadzeniu do tej przyjaznej, równoważnej nierówności, autor przy pomocy własności wyrażeń jednorodnych dowodzi, że:
Nierówność [ta finalna, równoważna tej z tezy] jest prawdziwa dla liczb dodatnich a, b, c spełniających warunek a+b+c=1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwa dla dowolnych a, b i c.
Przy czym [ważne] korzysta z jednorodności dla dowodu implikacji "w prawo", natomiast stwierdza, że "w lewo" jest to oczywista. Autor napisał, ze w ten sposób "uwolniliśmy się" od warunku (a+b+c=1).
Ale mam wrażenie, jakby tylko implikacja "w lewo" była nam potrzebna... :-/

Podsumuję moje wątpliwości;
- jak mi się wydaje:
(1) Nierówność końcowa jest prawdziwa dla dowolnych a, b, c co dowodzi się bez użycia warunku a+b+c=1
(2) A z warunku jedynie wynika równoważność nierówności z tezy z "finalną"(po przekształceniach) równoważną nierównością.
(3) Skoro "finalna" nierówność jest spełniona dla dowolnych a, b, c to w szczególności jest prawdziwa dla takich: a+b+c=1 dla których z kolei zachodzi równoważność między tymi nierównościami.
(4) Z powyższych wynika prawdziwość tezy.
- z czym mam problem:
Po co ta zabawa z jednorodnością i "uwalnianie się od warunku"(w tym konkretnym przykładzie)?

Pokażcie mi błędy w moim powyższym rozumowaniu - czy dowód, tak jak go zapisałem na początku, byłby niepoprawny? Czego nie rozumiem? :oops:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2017, o 22:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
Nie jestem obeznany z ta pozycją. Tak, taki dowód jak przedstawiony przez Ciebie jest poprawny.
Odpowiedź na wszystkie pytania (1)-(4) jest twierdząca, moim zdaniem wszystko dobrze rozumiesz.

Nie wiem, po co zabawa z jednorodnością, osobiście uważam, że w takim łatwym przykładzie to trochę przerost formy nad treścią. Ale może służy to wprowadzeniu do zastosowania jednorodności w dowodzeniu nierówności.

Zaproponuję jeszcze taki dowód (w zasadzie prawie to samo, tylko inaczej napisane):
oczywiście prawdziwa jest nierówność
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \ge 0
Rozwijając to, dzieląc stronami przez 2 i dodając obustronnie 2(xy+yz+zx), mamy
(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)
Kładąc x=ab, y=bc, z=ca, a,b,c>0 i korzystając z warunku a+b+c=1 otrzymujemy:
(ab+bc+ca)^2 \ge 3ab^2c+3bc^2a+3a^2bc=3abc(a+b+c)=3abc
Pierwiastkujemy stronami (bo obie strony w świetle założeń są dodatnie) i dostajemy:
ab+bc+ca\ge \sqrt{3abc}
Mnożymy stronami przez 2 i jest:
2ab+2bc+2ca \ge \sqrt{12abc}
Teraz dodajemy stronami a^2+b^2+c^2, zauważamy wzór skróconego mnożenia i mamy:
(a+b+c)^2 \ge a^2+b^2+c^2+\sqrt{12abc}
ale zgodnie z założeniem a+b+c=1, co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2017, o 01:11 
Administrator

Posty: 20557
Lokalizacja: Wrocław
Zaratustra napisał(a):
"Wędrówki po krainie nierówności" pana Leva Kourliandtchik-a.

No proszę... To jest książka pana Lwa Kurlandczyka. A nawet jeżeli używamy koszmarnej anglosaskiej transkrypcji tego słowiańskiego nazwiska (czyli Lev Kourliandtchik), to i tak odmieniamy "Lva Kourliandtchika".

JK

PS. Ze strony Wrocławskiego Portalu Matematycznego:
Cytuj:
Lew Kurlandczyk - pracownik Uniwersytetu w Wilnie i przez wiele lat także Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, autor wielu zbiorów zadań, głównie przygotowujących do olimpiad matematycznych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2017, o 01:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9885
Lokalizacja: Wrocław
A tak przy okazji:
https://sjp.pwn.pl/poradnia/haslo/PS;1585.html
Ja nie tępię P.S., choć konsekwentnie używam PS, natomiast nie wiem czemu strasznie drażni mnie PS. oraz PS: - jednak nie sądzę, by kogokolwiek to obchodziło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2017, o 08:56 
Administrator

Posty: 20557
Lokalizacja: Wrocław
Premislav napisał(a):
A tak przy okazji:
https://sjp.pwn.pl/poradnia/haslo/PS;1585.html
Ja nie tępię P.S., choć konsekwentnie używam PS, natomiast nie wiem czemu strasznie drażni mnie PS. oraz PS: - jednak nie sądzę, by kogokolwiek to obchodziło.

A, dziękuję, czegoś się dowiedziałem. I już można wrócić do głównego wątku.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lip 2017, o 01:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Jan Kraszewski napisał(a):
[...] To jest książka pana Lwa Kurlandczyka. A nawet jeżeli używamy koszmarnej anglosaskiej transkrypcji tego słowiańskiego nazwiska (czyli Lev Kourliandtchik), to i tak odmieniamy "Lva Kourliandtchika".


Cóż, wszystkie publikacje tego zacnego Pana jakie widziałem tą anglosaską formą straszą z okładek. I tak zapisane brzmi nader egzotycznie :P Jakoś nawet nie pomyślałem, że to zniekształcone nazwisko słowiańskie (aczkolwiek) :< Dobrze wiedzieć.

Premislav napisał(a):
Nie jestem obeznany z ta pozycją. Tak, taki dowód jak przedstawiony przez Ciebie jest poprawny.
Odpowiedź na wszystkie pytania (1)-(4) jest twierdząca, moim zdaniem wszystko dobrze rozumiesz.


No właśnie - czyli pewnie tylko nie całkiem rozumiem intencje autora. Może ten przykład jest trochę sztuczny i załapię jak zacznę zadania(na razie przeskoczyłem ten rozdział i zaatakowałem następne).

Premislav napisał(a):
Zaproponuję jeszcze taki dowód [...]


Ładny ;]
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazanie nierówności - zadanie 14  ann_mary  1
 Działania z "ujemnymi potęgami".  Gambit  1
 Problem z obliczeniami  nemo  17
 mam niestypowy problem w rozumowaniu pojecia NAJWIĘKSZY  Bartez+  10
 pierwiastki-mały problem  kasiek  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl