szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2017, o 12:11 
Użytkownik

Posty: 559
Lokalizacja: Polska
Niech a, \ b, \ c, \ d, \ p, \ q należą do liczb całkowitych dodatnich.

1. Jeśli a<b i d<c, wówczas bc-ad \ge a+c;

2. Jeśli \frac{a}{b}<p<\frac{c}{d}, wówczas (bc-ad)p \ge a+c;

3. Jeśli \frac{a}{b}<\frac{p}{q}<\frac{c}{d}, wówczas p \ge \frac{a+c}{bc-ad} i q \ge \frac{b+d}{bc-ad}.

Znaleźć wszystkie ułamki których mianowniki są mniejsze od 20, i leżą pomiędzy \frac{8}{9} i \frac{9}{10}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2017, o 13:31 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
1. Niech a + x = b oraz d + y = c dla dodatnich całkowitych x, y. Mamy bc - ad = \left( a + x \right)\left( d + y \right) -ad = ay + dx + xy  \ge a + d + y = a + \left( d + y \right) = a + c.
2. Mamy a < pb oraz c > pd. Niech dla pewnych dodatnich x, y będzie a + x = pb i c = pd + y. Zachodzi p \left( bc - ad \right) = pbc - pda = \left( a + x \right)c - \left( c - y \right)a = cx + ay  \ge c + a
3.
Mamy aq < pb oraz pd < cq. Niech dla dodatnich całkowitych x, y będzie aq + x = pb oraz pd + y = cq. Zachodzi wtedy p \left( bc - ad \right) = pbc - pda = \left( aq + x\right)c - a\left( cq - y\right) = cx + ay  \ge a + c, co po podzieleniu przez bd - ad daje Naszą nierówność. Oczywiście bc > ad, co wynika z początkowej nierówności.
Analogicznie następna : q\left( bc - ad \right) = cqb - aqd = \left( pd + y \right)b - \left( pb - x \right)d = by + xd  \ge b + d, dzieląc przez bc - ad otrzymujemy to, co chcemy. Analogicznie jak wyżej, bc  \neq ad.
Niech q będzie liczbą w mianowniku, wtedy 20 > q  \ge 19, stąd q = 19, a wtedy jedyną wartością jest \frac{17}{19}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ułamki Fareya - problemy  mol_ksiazkowy  0
 Zagwozdka z nierównością  kabzun  3
 Wspólny mianownik - zagwozdka  void142  17
 Zagwozdka z skróconym mnożeniem  gandziowy  5
 Pochodna z definicji. Zagwozdka.  jurzyczek  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl