szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 19:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Biała Podlaska
Skoro iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6, to czy zadanie "udowodnij, że wyrażenie [cokolwiek] jest podzielne przez 6" mogę sprowadzić do postaci iloczynu właśnie trzech kolejnych liczb całkowitych? (zał. że liczby te są całkowite etc).

Mam zadanie:
"Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k^{6}-2k ^{4}+k ^{2} jest podzielna przez 36."
Zapisałem to jako k ^{2}(k-1) ^{2}=36x, a potem spierwiastkowałem i mi właśnie wyszło, że (k-1)k(k+1)=6x.
Prosiłbym o odpowiedzi "tak/nie, dlaczego" zamiast przeliczenie w pamięci/na kartce i zapisanie wyniku.
I czy to, że pierwiastkowanie nie obejmuje x.... xd ma jakieś szczególne znaczenie?
Czy będzie dobrze, jak zapiszę, że te wyrażenie jest równe 36x ^{2} ?
Przy czym x^{2}  \in C
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 22490
Lokalizacja: piaski
k^6-2k^4+k^2\neq k^2(k-1)^2
[edit] To tylko literówka.

Oczywiście jest to kwadrat liczby, ale nie możesz zapisać, że to jest podzielne przez 36 - ma Ci to wyjść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Biała Podlaska
No ale skoro dana liczba jest podzielna przez 36, to oznacza, że iloczyn 36 z inną liczbą całkowitą daje nam tę liczbę, czyż nie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 22490
Lokalizacja: piaski
,,Uzasadnij, że jest podzielna" - nie oznacza przyjmij, że jest podzielna.

Z tej postaci (bez literówki), którą otrzymałeś można już uzasadnić.

Robisz ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Biała Podlaska
No pojęcia nie mam jak, szczerze mówiąc. Patrzę na to, zastanawiam się i nic nie widzę. k ^{2}(k ^{2}-1) ^{2}... Jednocześnie nie wiedząc, że jest podzielne przez 36. No nie widzę. Chciałbym, ale nie widzę.
No bo kiedy coś jest podzielne przez 36; gdy jest wielokrotnością liczby 36, bądź 36, bądź zerem... aaa właśnie
[edit2] No ale to mogę jedynie udowodnić, że dla k=0 to jest podzielne przez 36, a to nic nie wnosi...
[znowu edit] No zielonego pojęcia nie mam. Może jestem tak mało inteligentny. Ale wtedy pojawia się pytanie dlaczego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 22490
Lokalizacja: piaski
A wiesz przez co podzielne jest (k-1)k(k+1) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Biała Podlaska
no przez 6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:52 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2815
Lokalizacja: Warszawa
Przekształcamy wyrażenie:
k ^{2}(k ^{2}-1) ^{2}=[k(k-1)(k+1)]^2.
W nawiasie kwadratowym masz iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych na pewno znajduje się jedna podzielna przez 3 i dwie lub jedna podzielna przez 2. Zatem to co w środku nawiasu podzielne jest przez 2\cdot3=6, a zatem cały wyrażenie podzielne jest przez 6^2=36.

Ogólna rada: jeśli masz wykazać podzielność przez x to rozłóż najpierw x na czynniki pierwsze. Żeby udowodnić podzielność trzeba wykazać, że liczba dzieli się przez każdy czynnik z rozkładu.

PS. Przepraszam za gotowca, trochę wypiłem i tak wyszło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 22490
Lokalizacja: piaski
illwreakyabonez napisał(a):
no przez 6

Jeśli wiesz dlaczego to w zadaniu masz kwadrat tego wyrażenia (i gotowca nad moim).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Biała Podlaska
AiDi napisał(a):
Przekształcamy wyrażenie:
k ^{2}(k ^{2}-1) ^{2}=[k(k-1)(k+1)]^2.
W nawiasie kwadratowym masz iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych na pewno znajduje się jedna podzielna przez 3 i dwie lub jedna podzielna przez 2. Zatem to co w środku nawiasu podzielne jest przez 2\cdot3, a zatem cały wyrażenie podzielne jest przez 6^2=36.

Ogólna rada: jeśli masz wykazać podzielność przez x to rozłóż najpierw x na czynniki pierwsze. Żeby udowodnić podzielność trzeba wykazać, że liczba dzieli się przez każdy czynnik z rozkładu.

PS. Przepraszam za gotowca, trochę wypiłem i tak wyszło.



No czyli tak jak na początku zrobiłem. Założyłem (zgodnie z zadaniem), że całość (która jest kwadratem) jest podzielna przez 36; a więc w "czystej" postaci jest podzielna przez 6

-- 29 lip 2017, o 21:59 --

no to czyli dobrze zrobiłem, jak wcześniej napisałem o tym... Zastanawiajace
Dobra, po prostu źle przekazałem to co miałem na myśli. W przyszłości będę bardziej na to uważał. Dzięki za zainteresowanie tematem i przepraszam za natręctwo ;p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 22490
Lokalizacja: piaski
illwreakyabonez napisał(a):
No czyli tak jak na początku zrobiłem. Założyłem (zgodnie z zadaniem), że całość (która jest kwadratem) jest podzielna przez 36; a więc w "czystej" postaci jest podzielna przez 6

O tym już pisałem.
Ty przyjąłeś, że jest to podzielne, a potem pierwiastkowałeś - nie było to poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 21:01 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2815
Lokalizacja: Warszawa
illwreakyabonez napisał(a):
No czyli tak jak na początku zrobiłem. Założyłem (zgodnie z zadaniem), że całość (która jest kwadratem) jest podzielna przez 36


W którym fragmencie ja założyłem podzielność przez 36? Nie możesz zakładać tezy. Ewentualnie jej zaprzeczenie, ale to inna historia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2017, o 21:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 36
Lokalizacja: Biała Podlaska
AiDi napisał(a):
illwreakyabonez napisał(a):
No czyli tak jak na początku zrobiłem. Założyłem (zgodnie z zadaniem), że całość (która jest kwadratem) jest podzielna przez 36


W którym fragmencie ja założyłem podzielność przez 36? Nie możesz zakładać tezy. Ewentualnie jej zaprzeczenie, ale to inna historia.


No faktycznie nie założyłeś... :roll:
Wiem już co i jak w tym przypadku gdy ładnie wychodzi postać iloczynowa; jutro się odezwę z podobną sprawą, za którą się złapałem stosując się do Twojej rady (swoją drogą takich rad poszukuję :lol:) i wyszła 1/3 zadania, jak nie wyjdzie to coś naszrajbuję tutaj na forum. Jak mnie nie pogonicie do końca roku, to stawiam browara
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl