szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Mińsk Mazoweicki
Mam taki mały problem i potrzebuję aby ktoś mi to wytłumaczył bo coś robię źle.
Muszę znaleźć jaki ciąg odpowiada funkcji tworzącej: A(x) =  \frac{ x^{2} }{ (1-x)^{3} }
Myślałem że należy to zrobić w taki sposób:
Rozbić na 2 funkcje:\frac{x}{(1-x)^{2} }  \times  \frac{x}{(1-x)}
wtedy ciąg dla pierwszej funkcji to a_{n}=(0,1,2,3,4...) => a_{n}=n (jeżeli pierwszy wyraz ciągu oznaczało się jako a_{0}, bo nie pamiętam xd)
a co do drugiej funkcji to byłoby to a_{n}=(0,1,1,1,1 ...), ale że nie wiem jak zapisać to na wzór ogólny, oraz wiedząc że powinno wyjść a _{n} =  \frac{1}{2}n(n-1) domyślam się że jednak robię coś mocno źle

Będę wdzięczny za jakieś wytłumaczenie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 930
Lokalizacja: Górnicza Dolina
\frac{x^2}{(1-x)^3}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}+\frac{C}{(1-x)^3}
Jak znajdziesz A,B,C to jeśli się nie mylę:
\frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } x^n
\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{ \infty }(n+1) x^n
\frac{1}{(1-x)^3}=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)(n+2) x^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 19:10 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Mińsk Mazoweicki
Dzięki za odpowiedź, ale nadal nie wiem jak dojść z tych obliczeń do wyniku
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 19:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Funkcja tworząca ciągu (a_n)_{n \in \NN} ma postać
G(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_n \ x^n
Przekształcenia i równości, które napisał Benny01 pozwalają (po obliczeniu współczynników A, B, C) przedstawić
\frac{x^2}{(1-x)^3} w takiej formie, a następnie wystarczy spojrzeć na wyraz, który stoi przy x^n, a to dlatego, że funkcja tworząca (wewnątrz przedziału zbieżności oczywiście) jednoznacznie wyznacza ciąg.
A żeby dokończyć te obliczenia, to po prostu trzeba rozwiązać równanie
\frac{x^2}{(1-x)^3}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{(1-x)^2}+\frac{C}{(1-x)^3}
ze względu na A,B, C.
Po wymnożeniu stronami przez (1-x)^3 masz równość pewnych wielomianów, co daje Ci układ trzech równań na współczynniki A,B, C, ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same współczynniki przy wszystkich potęgach.
Jeśli będziesz mieć jakiś problem z obliczeniami, to pokaż do czego doszedłeś i pomożemy dokończyć.

-- 4 sie 2017, o 19:41 --

Zobacz też tutaj:
298450.htm

Rozkład na ułamki proste często się może przydać przy takich zadaniach. Można też ordynarnie tu zgadnąć, że A=1, B=-2, C=1, ale takie rozwiązanie nie jest kształcące, a poza tym nie zawsze tak łatwo zgadnąć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Mińsk Mazoweicki
Rozkład na ułamki proste mam opanowany, nie jest to zbyt trudne xd
problem mam jedynie z zamianą funkcji tworzącej na wzór ogólny ciągu

wyniki otrzymałem takie same jak ty \frac{ x^{2} }{ (1-x)^{3} } =   \frac{1}{1-x} +  \frac{-2}{ (1-x)^{2} } +  \frac{1}{ (1-x)^{3} }

zapisując to znaczkami matematycznymi zrobiłbym to w ten sposób:
\frac{1}{1-x} =>  \sum_{n=0}^{ \infty }1 \times  x^{n}
\frac{-2}{ (1-x)^{2} } => -2 \sum_{n=1}^{ \infty }n \times  x^{n-1}
\frac{1}{ (1-x)^{3} } =>  \sum_{n=1}^{ \infty }n \times  x^{n-1}  \times   \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}

jeżeli nie mam błędu to muszę teraz to lekko uprościć a następnie pododawać do siebie, tak?
przypomnę że wynik tego zadania to: a _{n} =  \frac{1}{2}n(n-1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 20:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 187
Lokalizacja: brak
:cry:

Lemat. \sum_{n = 0}^\infty a^n {n + k \choose k} x^n = \frac{1}{(1-ax)^{k+1}}

(to jest twierdzenie o dwumianie dla ujemnego wykładnika)

Wniosek 1. \sum_{n = 0}^\infty {n + 2 \choose 2} x^n = \frac{1}{(1-x)^{3}}

Wniosek 2. \sum_{n = 0}^\infty \frac 12 (n+1)(n+2) x^{n+2} = \frac{x^2}{(1-x)^{3}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Mińsk Mazoweicki
dzięki Takahashi, to dość znaczące ułatwienie, jednak wybaczcie ale nadal nie wiem tego samego, jak to zamienić na wzór ogólny ciągu ...
było już pisane że jest to po prostu wyraz przy x^{n}, jednak co gdy mamy tutaj x^{n+2}, należy wyciągnąć x^{2} przed znak sumy a potem coś z nim zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 21:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 187
Lokalizacja: brak
Jest mi smutno, bo w postach wyżej niepotrzebnie zachęcano Cię do szukania rozwinięć dla niższych potęg...

sarevok37, wystarczy podstawienie:

\sum_{n = 2}^\infty \frac 12 (n-1)(n) x^{n} = \frac{x^2}{(1-x)^{3}}.

Szukanym ciągiem jest więc

a_n = \begin{cases} 0 & n = 1, 2 \\ \frac{n^2-n}{2} & n > 3\end{cases},

ale tak się cudownie zgadza, że dla n = 1, 2 dolny wzór też działa. Dlatego można zapisać w jednolity sposób

a_n = \frac{n^2-n}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Mińsk Mazoweicki
Wielkie dzięki, znacznie mi to rozjaśniło, i tak muszę porobić jeszcze sporo zadań tego typu by się dobrze czuć w tym dziale.

Jednak liczę i liczę i doliczyć się nie mogę tutaj jednego.
a_n = \begin{cases} 0 & n = 1, 2 \\ \frac{n^2-n}{2} & n > 3\end{cases},
pomijając że powinno być n \ge 3, to przecież jak podstawimy do dolnego wzoru n=2 to mamy \frac{ 2^{2}-2 }{2} = 1 a nie 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 187
Lokalizacja: brak
Powinno być:

a_n = \begin{cases} 0 & n = 0, 1 \\ \frac{n^2-n}{2} & n \ge 2\end{cases},

ponieważ pracujemy z szeregiem potęgowym a_0 x^0 + a_1x^1 + a_2 x^2 + \ldots - to znak, że pora odstawić matematykę na rzecz snu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sie 2017, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Mińsk Mazoweicki
Jeszcze raz wielkie dzieki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 Funkcje niemalejące  author  6
 wyprowadzenie wzoru na funkcję Eulera  nykus  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl