szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2017, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Gdynia
Witam,
W książce Pana Witolda Kołodzieja: "Analiza Matematyczna", Warszawa, PWN 1978, natknąłem się na następujące twierdzenie (strona 92, tak gdyby ktoś posiadał akurat to wydanie):
Na to aby przestrzeń X była spójna potrzeba i wystarcza aby dla każdej funkcji ciągłej f:X\rightarrow \RR zbiór f(X) był przedziałem; innymi słowy, aby funkcja f miała własność Darboux.
Następnie jest przedstawiony dowód konieczności i ten nie stanowi żadnego problemu. Za to dowód dostateczności mnie zastanowił:
Załóżmy, że przestrzeń X nie jest spójna. Wtedy istnieją zbiory otwarte, rozłączne i niepuste U_{1} oraz U_{2} takie, że X = U_{1}  \cup U_{2}. Przyjmijmy

f(x) =  \begin{cases} 1 &\mbox{dla }x  \in U_{1} \\ 0 &\mbox{dla } x \in U_{2}. \end{cases}

Określona w ten sposób funkcja f:X \rightarrow \RR jest oczywiście ciągła ale nie ma własności Darboux.

Dlaczego określona w dowodzie funkcja f jest ciągła? Jak dla mnie to jest nieciągła.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2017, o 21:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18218
Lokalizacja: Cieszyn
Ta funkcja jest ciągła, gdyż przeciwobraz każdego zbioru otwartego (w \RR) jest otwarty (w X). Niech V zawiera tylko jedynkę. Jaki jest jego przeciwobraz? Itp.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2017, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Gdynia
Dzięki za odpowiedź. Myślałem dokładnie tak samo tylko nie byłem pewien czy jednoelementowy podzbiór \RR jest zbiorem otwartym. Wydawało mi się, że nie, gdyż nie można dla tego elementu dobrać takiego r żeby kula o środku w tym punkcie i promieniu r się w tym zbiorze zawierała. Wręcz przeciwnie, dopełnienie takiego zbioru jest zbiorem otwartym postaci (- \infty , x) \cup (x, \infty) więc myślałem, że zbiór jednoelementowy jest raczej domknięty. Z drugiej strony nie da się dla niego dobrać ciągu punktów tego zbioru różnych od x i zbieżnych do x.
Możesz wyjaśnić dlaczego jednoelementowy podzbiór \RR jest w nim otwarty? Czy tak jak cała przestrzeń zbiór jednoelementowy jest jednocześnie otwarty i domknięty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sie 2017, o 23:13 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7653
Lokalizacja: Wrocław
Zbiór \{ 1 \} nie jest otwarty, ale ( 0, 2 ) już tak, a przeciwobraz jest ten sam.

Można też powiedzieć, choć jest to w zasadzie ten sam argument, że rozpatrujemy f jako funkcję f : X \to \{ 0, 1 \}, przy czym na przeciwdziedzinie zadana jest topologia podprzestrzeni \{ 0, 1 \} \subseteq \RR, i wtedy \{ 1 \} jest otwarty w \{ 0, 1 \}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 13:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18218
Lokalizacja: Cieszyn
Dasio11 napisał(a):
Zbiór \{ 1 \} nie jest otwarty, ale ( 0, 2 ) już tak, a przeciwobraz jest ten sam.

Można też powiedzieć, choć jest to w zasadzie ten sam argument, że rozpatrujemy f jako funkcję f : X \to \{ 0, 1 \}, przy czym na przeciwdziedzinie zadana jest topologia podprzestrzeni \{ 0, 1 \} \subseteq \RR, i wtedy \{ 1 \} jest otwarty w \{ 0, 1 \}.


Czy jesteś pewien, że w kontekście własności Darboux możemy rozważać zbiór dwuelementowy jako przeciwdziedzinę? Oczywiście zgadzam się, że argument wykazujący ciągłość jest ten sam.

alanacm1899, w \RR rozważamy standardową topologię. No i niech V\subset\RR będzie zbiorem otwartym. Możliwe są cztery przypadki: 0\in V, ale 1\not\in V, symetryczny przypadek, \{0,1\}\subset V oraz 0,1\not\in V. Tak to trzeba rozważać, jeśli analizujemy naszą funkcję pod kątem własności Darboux.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 13:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7653
Lokalizacja: Wrocław
szw1710 napisał(a):
Czy jesteś pewien, że w kontekście własności Darboux możemy rozważać zbiór dwuelementowy jako przeciwdziedzinę?
Pokazujemy teraz, że funkcja

f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x \in U_1 \\ 0 & \text{dla } x \in U_2 \end{cases}

jest ciągła. Skoro \mathrm{rng} \, f = \{ 0, 1 \}, to w ramach dowodu ciągłości można rozważać f jako funkcję X \to \{ 0, 1 \}, bo ten fragment nie ma nic wspólnego z własnością Darboux.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 13:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18218
Lokalizacja: Cieszyn
No dobrze, ale mamy tam jasny kontekst i to ma służyć jako dowód charakteryzacji przestrzeni spójnych. W tym kontekście musimy pracować w całym \RR. Sama ciągłość to jedno i oczywiście argument nie zależy za bardzo od przeciwdziedziny (w rozsądnych granicach), a brak własności Darboux to drugie. Trzeba to rozważać holistycznie, nie zadaniowo. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 13:43 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7653
Lokalizacja: Wrocław
Czyli Twoim zdaniem dowód ciągłości przez rozważanie tej samej funkcji z inną przeciwdziedziną jest niepoprawny?

Mnie specjalnie nie zależy, żeby przeforsować ten dowód (choć twierdzę, że jest poprawny), ale uznałem go za wartościowy wobec pytania, czy zbiór \{ 1 \} jest otwarty. W \RR nie jest, ale możemy go traktować tak, jakby był, ze względu na to, że jest otwarty w przeciwdziedzinie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 13:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18218
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
Czyli Twoim zdaniem dowód ciągłości przez rozważanie tej samej funkcji z inną przeciwdziedziną jest niepoprawny?


Jest jak najbardziej poprawny, tylko nie służy celowi nadrzędnemu, jaki wskazuje autor wątku. Tu jest tak, że zarówno w topologii standardowej w \RR, jak i dyskretnej w \{0,1\}, wszystko jest OK. Tak więc jeśli naszym zadaniem jest tylko wykazanie ciągłości, Twój sposób jest dobry i przyznam, że początkowo też tak chciałem to zrobić. Mało tego, zgadzam się, że jest wartościowy wobec kwestii otwartości (a raczej jej braku) singletonu w topologii standardowej.

Rozważenie \RR w przeciwdziedzinie ma taką zaletę, że rozwiązuje od razu dwie kwestie: ciągłość i brak własności Darboux. Bo chyba zgodzisz się, że o własności Darboux trudno mówić w przypadku \{0,1\}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 15:42 
Użytkownik

Posty: 14504
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pozwólcie zacytować zadanie:
Cytuj:
Na to aby przestrzeń X była spójna potrzeba i wystarcza aby dla każdej funkcji ciągłej f:X\rightarrow \RR zbiór f(X) był przedziałem; innymi słowy, aby funkcja f miała własność Darboux.


Rozpatrywać należy zatem funkcje w \RR a nie w \{0,1\}, funkcja już została opisana, a zamiast przeciwobrazów singetonów (które otwarte nie są) wystarcz brać np. półproste (1/2,\infty) i (-\infty,1/2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 16:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7653
Lokalizacja: Wrocław
a4karo napisał(a):
Rozpatrywać należy zatem funkcje w \RR a nie w \{0,1\}
Co przez to rozumiesz? Twoim zdaniem dowód ciągłości funkcji f : X \to \RR poprzez zamianę przeciwdziedziny na \{ 0, 1 \} jest poprawny czy nie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 19:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18218
Lokalizacja: Cieszyn
Dasio11, czy przeczytałeś, o co chodzi w pytaniu?

alanacm1899 napisał(a):
Na to aby przestrzeń X była spójna potrzeba i wystarcza aby dla każdej funkcji ciągłej f:X\rightarrow \RR zbiór f(X) był przedziałem; innymi słowy, aby funkcja f miała własność Darboux.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 20:41 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7653
Lokalizacja: Wrocław
Przeczytałem. Pytanie jest takie:
alanacm1899 napisał(a):
Dlaczego określona w dowodzie funkcja f jest ciągła? Jak dla mnie to jest nieciągła.
a to, co cytujesz, to okoliczności, w jakich autor się nad tym pytaniem zastanawia.

szw1710 napisał(a):
Tak więc jeśli naszym zadaniem jest tylko wykazanie ciągłości, Twój sposób jest dobry
Czyli chyba się zgadzamy? ;-)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 22:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18218
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
a to, co cytujesz, to okoliczności, w jakich autor się nad tym pytaniem zastanawia.


I te okoliczności trzeba uwzględnić.

Odejdę na moment od matematyki. Niektórzy lekarze leczą tylko wąski skrawek ciała. Laryngolog patrzy do gardła i daje jakieś leki. Inny laryngolog (mój kolega z liceum) zadaje pytania z pozoru nie związane z jego działką. Zastanawia się nad powodem dolegliwości, czasem odległym od objawów. To holistyczne podejście daje wspaniałe efekty.

Chcę powiedzieć, że w mojej opinii skupiłeś się na wąskim aspekcie sprawy. Owszem, pytanie było o ciągłość, ale kontekst własności Darboux jasny i trzeba go uwzględnić w doborze metody (tu przeciwdziedziny i w niej topologii). Co do poprawności sposobu dowodzenia ciągłości (z topologią dyskretną) nie mam najmniejszej wątpliwości. Także do tego, że w tym wąskim podejściu nie jest ważne czy memy całe \RR, czy też tylko dyskretne \{0,1\}. Ale podejście dyskretne nie jest holistyczne. Tak więc dla mnie bardzo ważne są te okoliczności.

Jak widać, i w matematyce są jakieś możliwości interpretacji. I jak tu nie mówić, że matematyka jest nauką humanistyczną? :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje ciągłe w przestrzeni metrycznej  marlena1795  5
 sfera podzbiorem domknietym przestrzeni metrycznej- dowod  Miraculum  1
 Własności przestrzeni metrycznych  sandra791  3
 Iloczyn kartezjański przestrzeni zupełnych.  _Mithrandir  4
 Podaj przykład przestrzeni metrycznej  wdsk90  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl