szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
Funkcja f: \RR  \setminus  \{ 0 \}  \to \RR jest taka, że
i) f(x)- f(y) = f(x)f( \frac{1}{y})  -  f(y)f( \frac{1}{x}) gdy x, y  \neq 0
ii) istnieje x że f(x) = \frac{1}{2}
Wyznaczyć f(-1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 349
Lokalizacja: Polska
Można spytać, skąd bierzesz te zadanka? :D

*1 f \left( x \right) -f \left( y \right) =f \left( x \right) f \left( \frac{1}{y} \right) - f \left( y \right) f \left( \frac{1}{x} \right)
*2 f \left( x \right)  \left( 1-f \left( \frac{1}{y} \right)  \right)  = f \left( y \right)  \left( 1-f \left( \frac{1}{x} \right)  \right)
y := \frac{1}{x}

- \left[ f \left( x \right)  \right] ^2+f \left( x \right)  = - \left[ f \left( \frac{1}{x} \right)  \right] ^2+f \left( \frac{1}{x} \right)
Względna segregacja:
\left( f \left( \frac{1}{x} \right) -f \left( x \right)  \right)  \left( f \left( \frac{1}{x} \right) +f \left( x \right)  \right)  = f \left( \frac{1}{x} \right) -f \left( x \right)
W takim razie zachodzi conajmniej jeden z przypadków:
A f \left( \frac{1}{x} \right) -f \left( x \right)  = 0
B f \left( \frac{1}{x} \right) +f \left( x \right)  = 1


Wstawiamy x = -1 do *1 i otrzymujemy
f \left( -1 \right) -f \left( y \right) =f \left( -1 \right) f \left( \frac{1}{y} \right) -f \left( y \right) f \left( -1 \right)
f \left( -1 \right)  \left( 1-f \left( \frac{1}{y} \right) +f \left( y \right)  \right)  = f \left( y \right)
f \left( -1 \right)  = \frac{f \left( y \right) }{1-f \left( \frac{1}{y} \right) +f \left( y \right) }

Załóżmy, że f \left( y \right)  = \frac{1}{2}, wówczas oba warunki A, B dają f \left( \frac{1}{y} \right)  = \frac{1}{2}
Więc:
f \left( -1 \right)  = \frac{1}{3-2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

Chyba jest ok :V
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2017, o 18:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Kładąc y=\frac 1 x, \ x \in \RR\setminus\left\{ 0\right\}, otrzymujemy
f(x)-f\left( \frac 1 x\right)=f^2(x)-f^2\left( \frac 1 x\right)
a zatem po elementarnych przekształceniach dostajemy
\left(f(x)-f\left( \frac 1 x\right)  \right)\left(1-f(x)-f\left( \frac 1 x\right)  \right)=0
zatem dla każdego x \in \RR\setminus\left\{ 0\right\} mamy
f(x)=f\left( \frac 1 x\right) \vee f(x)+f\left( \frac 1 x\right)=1
Z powyższego i z założeń zadania wynika, że dla pewnego x \in \RR\setminus\left\{ 0\right\}
jest f(x)=f\left( \frac 1 x\right)=\frac 1 2

W równaniu
f(x)- f(y) = f(x)f( \frac{1}{y}) - f(y)f( \frac{1}{x})
połóżmy y=-1 i mamy
f(x)-f(-1)=f(x)f(-1)-f(-1)f\left( \frac 1 x\right)
dla dowolnego niezerowego x.
Teraz weźmy takie x jak wyżej, tj że
f(x)=f\left( \frac 1 x\right)=\frac 1 2
Otrzymujemy:
\frac 1 2-f(-1)=\frac 1 2f(-1)-\frac 1 2f(-1)
i już widać co i jak.

NIE NO BIURWA MAĆ, ZAWSZE MNIE KTOŚ WYPRZEDZI, OBRAŻAM SIĘ NA TO FORUM I PRZERZUCAM SIĘ NA BIERKI!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak rozwiązać równanie?  gogoad  4
 równanie z parametrem - zadanie 12  basia  1
 Rownanie z dwiema niewiadomymi  cuube  1
 rownanie f okresowej  mol_ksiazkowy  2
 Krzywa i rownanie logistyczne <-- poszukuje materialow  xax82  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl