szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sie 2017, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 5415
Lokalizacja: Kraków
Dany jest ciąg a_n przez definicję
\begin{cases} a_{n+3}= a_{n+2}a_{n+1}+ a_n \\ a_1=a_2=a_3=1 \end{cases}
Udowodnić, że dowolna liczba naturalna ma jakąś wielokrotność, która jest wyrazem tego ciągu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sie 2017, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Warszawa
Zbiór \mathbb{N} to zbiór nieujemnych liczb całkowitych. Dla ustalonego k\in \mathbb{N}\setminus \{0\} definiujemy funkcję
f:\mathbb{Z}_k^3\rightarrow \mathbb{Z}_k^3
wzorem
f(x,y,z)=(y,z,z\cdot y+x)
Łatwo zauważyć, że f jest injekcją tzn. z trójki (y,z,z\cdot y+x) można odzyskać (x,y,z). Ponadto mamy
f^{n+1}(0,1,1)=\underbrace{\left(f\circ ...\circ f\right)}_{n+1}(0,1,1)\equiv \left(a_{n+1}\,(\mathrm{mod}\,k),a_{n+2}\,(\mathrm{mod}\,k),a_{n+3}\,(\mathrm{mod}\,k)\right)
Zbiór \mathbb{Z}_k^3 jest skończony. Zatem zbiór
\{f^{n}(0,1,1)\mid n\in \mathbb{N}\}
jest skończony. Z tego, że f jest injekcją wynika, że ciąg
\{f^n(0,1,1)\}_{n\in \mathbb{N}}
jest ciągiem okresowym. Jego pierwszym wyrazem jest (0,1,1). Stąd istnieje n\in \mathbb{N} takie, że
(0,1,1)=f^{n+1}(0,1,1)\equiv\left(a_{n+1}\,(\mathrm{mod}\,k),a_{n+2}\,(\mathrm{mod}\,k),a_{n+3}\,(\mathrm{mod}\,k)\right)
Oznacza to, że a_{n+1}\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,k) czyli a_{n+1} jest wielokrotnością k.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność i bezwzgl. zbieżność szeregu (ciąg rekururencyjny)  raisa343  5
 Wyznacz wartości dla których ciąg jest zbieżny  mfosita  1
 Ciąg rekurencyjny; skąd wynika wzór na n-ty wyraz?  kumnopek1  3
 Ciąg rekurencyjny. - zadanie 4  mich12  8
 granica ciag typu e  gufox  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl