szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2017, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Borusławice
Mam do zrobienia takie oto zadanie z kombinatoryki:

Mamy n skarbonek i n kluczy, przy czym każdy klucz pasuje do dokładnie jednej skarbonki. Wrzucamy losowo po jednym kluczu do każdej skarbonki, po czym rozbijamy k skarbonek, 1 \le k \le n. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dzięki temu będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2017, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 1088
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Patrz tutaj: https://math.stackexchange.com/questions/320485/probability-of-opening-all-piggy-banks

Przed zadaniem pytania warto użyć Google, wpisując hasło zarówno po polsku jak i po angielsku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2017, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 4005
Doświadczenie losowe polega na:

- losowym wrzuceniu po jednym z n kluczy do każdej z n skarbonek;
- losowym rozbiciu k , \ \ 1 \leq k \leq n spośród n skarbonek.

Model doświadczenia:

( \Omega, F, P ):

\Omega = \left\{ \omega= (1,2,...n)\rightarrow (i_{1}, i_{2}...,i_{n}),i_{1},i_{2},...,i_{n} \in \left \{1,2,...,n\right\} \right\},

F = 2^{\Omega}

P(\omega_{i})= \frac{1}{n!},\ \  i=1, 2,...,n (1)

A - zdarzenie "po rozbiciu k skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe skarbonki ".

|A| =  S(n, k).

S(n,k) - liczba permutacji n - elementowych o dokładnie k, \ \ 1\leq k \leq n cyklach ( liczba Stirlinga II rodzaju)

Z zależności rekurencyjnych dla liczb Stirlinga

S(k,k) = k!

S(n+1, k) = nS(n,k)

S(n, k) = k!k (k+1)...(n-1)= k (n-1)!

oraz (1), otrzymujemy

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{S(n,k)}{n!} = \frac{k(n-1)!}{n!} = \frac{k}{n}.

Interpretacja otrzymanego wyniku.

Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w \frac{k}{n}\cdot 100\% ogólnej liczbie wyników - po rozbiciu k skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sie 2017, o 23:25 
Użytkownik

Posty: 1088
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
janusz47 napisał(a):
S(n,k) - liczba permutacji n - elementowych o dokładnie k, \ \ 1\leq k \leq n cyklach ( liczba Stirlinga II rodzaju)

To są liczby Stirlinga I, a nie II rodzaju.

Powyższe rozwiązanie jest całkowicie błędne. Zależności rekurencyjne są niepoprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sie 2017, o 07:57 
Użytkownik

Posty: 4005
Panie Mruczek proszę przedstawić swoje rozwiązanie, a nie odsyłać do forum Stackexchange czy Google i zapoznać się z literaturą np:

Geoffrey Grimmett, David Stirzaker One Thousand Exercises in Probability. pp. 17. Oxford University Press 2001.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2017, o 09:15 
Użytkownik

Posty: 15817
Lokalizacja: Bydgoszcz
janusz47 napisał(a):

Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w \frac{k}{n}\cdot 100\% ogólnej liczbie wyników - po rozbiciu k skarbonek będzie można otworzyć wszystkie pozostałe.


Przy n=5 i k=1 trudno oczekiwać, że jednym kluczem da się otworzyć pozostałe cztery skarbonki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2017, o 11:51 
Użytkownik

Posty: 4005
Szansa otwarcia jest 20 \%.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2017, o 12:19 
Użytkownik

Posty: 15817
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przeczytaj jeszcze raz zadanie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 System RSA- dwa klucze  Makiwarrior  6
 klucze  bycSOBA  1
 Skrytki i klucze  antek_k  10
 Spadające w windzie klucze  thenighthawk4  0
 Klucze w grze komputerowej.  IchBinHier  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl