szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2017, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Borusławice
Mam problem z dwoma przykładami z dyskretnej:

a)

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+3)}

b)

\sum_{ i_{1}=0 }^{n} \sum_{ i_{2} }^{ i_{1} }... \sum_{ i_{k}=0 }^{ i_{k-1} }1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2017, o 12:46 
Użytkownik

Posty: 12615
a) Mamy
\frac{1}{i(i+1)(i+3)}= \frac{i+1-i}{i(i+1)(i+3)} = \frac{1}{i(i+3)}- \frac{1}{(i+1)(i+3)}=\\= \frac{1}{3} \cdot  \frac{i+3-i}{i(i+3)}-\frac 1 2 \frac{i+3-(i+1)}{(i+1)(i+3)}=\\= \frac{1}{3} \cdot \frac 1 i -\frac 1 3\cdot \frac{1}{i+3}-\frac 1 2 \cdot \frac{1}{i+1}+\frac 1 2\cdot \frac{1}{i+3}=\\=\frac{1}{3}\cdot \frac 1 i -\frac 1 2\cdot \frac{1}{i+1}+\frac 1 6\cdot \frac{1}{i+3}
Więc:
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+3)}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\cdot \frac 1 i -\frac 1 2\cdot \frac{1}{i+1}+\frac 1 6\cdot \frac{1}{i+3} \right) =\\=\frac 1 3 H_n-\frac 1 2\left( H_{n+1}-1\right)+\frac{1}{6}\left( H_{n+3}-1-\frac 1 2-\frac 1 3\right)=\\=\ldots
gdzie H_n= \sum_{i=1}^{n} \frac 1 i.
Dużo rzeczy się skróci, bo
H_{n+1}=H_n+\frac{1}{n+1}, \ H_{n+3}=H_n+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}

-- 29 sie 2017, o 12:52 --

Ogólnie w takich zadaniach jak to a) przydaje się rozkład na ułamki proste.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zwarta postać sumy - zadanie 9  Bartom  2
 zwarta postać sumy - zadanie 2  SzalonyMjut  1
 Zwarta postać sumy - zadanie 6  krymeer  7
 Zwarta postać sumy - zadanie 5  krymeer  2
 Zwarta postać sumy - zadanie 13  aolo23  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl