szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2017, o 13:08 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
Cześć, rozwiązuję całkiem proste zadanko ale gubię gdzieś po drodze \frac{1}{2}
wychodzi mi 3^n+(-1)^n a powinno być \frac{1}{2} \left( 3^n+(-1)^n\right)

Treść:
Znajdź wzór jawny na a_{n} za pomocą funkcji tworzących. Enty wyraz ciągu wyrażony rekurencyjnie:
a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2} dla n \ge 2 oraz a_0=1, a_1=1

Po kolei:

mnożę obustronnie przez x^n i sumuję po n \ge 2
\sum_{n=2}^{ \infty }a_nx^n=2\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^n+3\sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^n

Z tego mam:

\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n - a_0-a_1 = 2x( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n

ponieważ f(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n to:

f(x) - 1-1 = 2x( f(x)-1)+3x^2f(x)

f(x) -2f(x)-3x^2f(x)=2-2x

f(x)(1-2x-3x^2)=2-2x

f(x)= \frac{2-2x}{1-2x-3x^2} = \frac{2-2x}{(1+x)(1-3x)}= \frac{1}{1-3x} + \frac{1}{1-(-x)}

Rozwijam w szereg:

f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^n+\sum_{n=0}^{ \infty }(-x)^n

Dlatego wychodzi mi : 3^n+(-1)^n co jest błędnym rozwiązaniem.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sie 2017, o 14:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12427
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Błąd jest w tej linijce:
Cytuj:
\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n - a_0-a_1 = 2x( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n

Powinno być:
\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n - a_0-a_1 {\red x}= 2x( \sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n-a_0)+3x^2\sum_{n=0}^{ \infty }a_nx^n
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź a_n wyraz rozwinięcia dwumianu  Anonymous  1
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 Ilość różnowartościowych niemonotonicznych funkcji.  Anonymous  2
 Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?  Unsurpassed  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl