szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 08:48 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: WWA
Witam z rana,

potrzebuję wskazówki jak poradzić sobie z rozwinięciem funkcji:

f(z)= \frac{1}{ \sqrt{1+z} }

w szereg Taylora o środku w punkcie z=0, dla \left|z \right|<1.

Mogę korzystać tylko z rozwinięć "elementarnych" typu ln(1+z), sinz, cosz, albo e ^{z}.

Będę wdzięczna za każdą pomoc!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 09:41 
Użytkownik

Posty: 813
Lokalizacja: Polska
f(z) = (1+z)^{-\frac{1}{2}}
Oczywiście zakładam, że chodzi o pierwiastek pierwotny, więc:

f^{(n)}(z) = (\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n) (1+z)^{-\frac{1}{2}-n}
gdzie f^{(n)} to n-ta pochodna f

I do wzoru Taylora
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 11:50 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: WWA
zastanawiałam się czy da się to jakoś zrobić bez różniczkowania po n, ale chyba nie, dzięki wielkie :)

po zsumowaniu i uporządkowaniu wyszedł mi taki szereg:

f(z)=1+  \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1)  ^{n} (2n-1)!!}{(2n)!!} z ^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 813
Lokalizacja: Polska
Wynik jest dobry, więc nie ma o co się martwić, jeszcze ewentualnie tę jedynkę tam wrzucić w serię (dla n=0 i skorzystaniu z Gammy [bez zmiany silni tak na prawdę] mamy 1 na samym początku :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 13:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 405
Lokalizacja: Warszawa
Albo z funkcji tworzących, mamy

(1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: WWA
@Cytryn

to działa również dla ujemnych n-ów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 wrz 2017, o 15:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 405
Lokalizacja: Warszawa
To działa dla rzeczywistych n. Wyjaśnienie powinno być gdzieś w internecie albo Matematyce konkretnej Grahama, Knutha, Patashnika (zakładam jak autor tematu, że |x| < 1).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residum funkcji zespolonej  major321  0
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 Obszar holomorficzności funkcji zespolonej.  Insol3nt  8
 Istnienie funkcji zespolonej  Wojtolino  3
 Jakie są dowody na nieistnienie zer funkcji dzeta?  seiwopurk 1  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl