szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2017, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Na znak dwóch strzelców oddaje strzał do tej samej tarczy, wygrywa ten który trafi jako pierwszy. Ich czasy reakcji mają rozkłady wykładnicze.
Czas reakcji pierwszego wynosi średnio 1/3 sekundy a drugiego 1/6. Pierwszy strzelec trafia 7 na 8 strzałów natomiast drugi 14 na 15.
Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania pierwszego?

Jakieś sugestie? Myślę nad tym od paru dni i nie mam żadnego pomysłu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 13:26 
Użytkownik

Posty: 1898
Doświadczenie losowe polega na:

na znak oddaniu strzału przez dwóch strzelców S_{1}, S_{2} do wspólnej tarczy.

Założenia:

Strzelcy oddają strzał niezależnie jeden od drugiego.

Czasy ich reakcji są niezależne od siebie.

Oznaczenia:

t_{1} - czas reakcji strzelca S_{1},

t_{2} - czas reakcji strzelca S_{2}.

Z treści zadania:

t_{1} \sim Exp\left( \frac{1}{3}s \right),

t_{2} \sim Exp\left( \frac{1}{6}s \right).

Gęstości brzegowe:

f_{t_{1}}(t) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}t_{1}},

f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{6}e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.

Gęstość rozkładu łącznego czasów reakcji:

f_{(t_{1}, t_{2})}(t) = f_{t_{1}}(t)\cdot f_{t_{2}}(t) = \frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3}-\frac{t{2}}{6}}.

Prawdopodobieństwo, zdarzenia

C= \{(t_{1},t_{2}): t_{1}< t_{2}, \ \ t_{1}, t_{2}>0\},

że czas reakcji strzelca S_{1} jest mniejszy od czasu reakcji strzelca S_{2}.

wynosi

P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .

Oznaczenie zdarzeń losowych:

S_{1}^{+} - strzelec S_{1} trafił w tarczę,

S_{2}^{+} - strzelec S_{2} trafił w tarczę,

S_{2}^{-} - strzelec S_{2} nie trafił w tarczę,

W - strzelec S_{1} - wygrał.

Proszę obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia W -  P(W), uwzględniając wszystkie możliwe przypadki, kiedy może zajść to zdarzenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 14:08 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Czyli teraz wystarczy policzyć P(W) = P(C) * P(S_{1}^{+}) + P(C')*(S_{2}^{-})*P(S_{1}^{+}) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 14:22 
Użytkownik

Posty: 1898
Pierwszy składnik sumy ok , w drugim brak literki P i jeszcze mamy trzeci przypadek

P(C)\cdot P(S_{2}^{-})\cdot P(S_{1}^{+}).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Racja zapomniałem o P. Co do trzeciego przypadku bije się w pierś że o nim nie pomyślałem. Jeszcze ostatnie pytanie czy P(C) dałoby się policzyć w jakiś prostszy sposób niż całką podwójną? Pytam gdyż miałem ją na wykładach potraktowaną nieco po macoszemu. Może wzór na dystrybuatnę rozkładu wykładniczego ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 15:10 
Użytkownik

Posty: 1898
Możemy policzyć ze wzoru na dystrybuantę łączną. Ale bardziej mi odpowiada metoda gęstości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
No dobra to zostanę przy tym. Dziękuję bardzo za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 wrz 2017, o 23:12 
Użytkownik

Posty: 1898
Z określenia dystrybuant brzegowych dla zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych:

F_{t_{1}}(t_{1}) = 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}}.

F_t_{2}}(t_{2}) = 1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}}.

Dystrybuanta łączna:

F(t_{1}, t_{2}) = F_{t_{1}}\cdot F_{t_{2}}= ( 1 - e^{-\frac{1}{3}t_{1}})(1 - e^{-\frac{1}{6}t_{2}})=...

Proszę obliczyć prawdopodobieństwo:

P(\{t_{1} <t_{2}\}) = P(\{t_{1}- t_{2} <0\}) = ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 14:53 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Posiedziałem nad tym trochę i mam pytanie co do tego:
P(C)= \iint_{\{(t_{1},t_{2}): t_{1}<t_{2}, t_{1},t_{2}>0 \}}f(t_{1},t_{2}) dt_{1}dt_{2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{2}}\frac{1}{18}e^{-\frac{t_{1}}{3} -\frac{t_{2}}{6}}dt_{1}dt_{2} = \frac{2}{3} .
Czy to jest na pewno nasze P(C)? Podobno powinno ono wyjść 1/3 a nie 2/3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 1898
Prawdopodobieństwo zdarzenia:

\{(t_{1}, t_{2}): t_{1}\geq t_{2}, \ \  t_{1}, t_{2}>0 \} wynosi \frac{1}{3}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
No tak wynika z tych obliczeń. Wynik całki oczywiście poprawny, jednak nie jestem przekonany czy sama całka podwójna sprawi że wynik będzie spełniał drugie kryterium.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 17:01 
Użytkownik

Posty: 1898
Co to znaczy, że " czy sama całka sprawi, że wynik będzie spełniał drugie kryterium?"

Jeśli czas reakcji pierwszego ze strzelców będzie mniejszy od czasu reakcji drugiego, to wieksza jest szansa jego trafienia w tarczę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
No to rozumiem ale nie do końca wiem skąd takie granice całkowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 1898
Rysujemy w układzie współrzędnych 0 t_{1}  t_{2} prostą t_{1}= t_{2}. Całkujemy po półpłaszczyźnie otwartej t_{1}<t_{2} leżącej poniżej prostej y = t_{2} (proszę wykonać rysunek).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozkład normalny, liczenie prawdopodobieństwa  gienia  2
 Rozkład prawdopodobieństwa - zadanie 5  Macius700  4
 Rozkład zmiennej losowej X - zadanie 4  xxseba95xx  1
 rozkład wykładniczy - zadanie 7  zaciekawiony  1
 rozkład wykładniczy i kwantyl  tolaa  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl