szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 wrz 2017, o 08:04 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Podaj cyfrę jedności wyrażenia:

27^{432} -13^{111}

z góry dziękuję za odpowiedź.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2017, o 08:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6122
27^{432}-13^{111}=\left( (3^4)^{108}\right)^3 -13 \cdot 169^{55}=
 (80+1)^{324} -13 \cdot (170-1)^{55}=\\=\left( 10 \cdot X+1\right) +13 \cdot (10 \cdot Y-1))=10 \cdot (X+13Y)+1-13=10 \cdot (X+13Y-2)+8
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 wrz 2017, o 09:02 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Prosiła bym jeszcze o jakieś wytłumaczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2017, o 14:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6122
Zastosowałem dwumian Newtona który poznałaś w szkole średniej:
(10x+1)^n=(10x)^n+ {n \choose 1}(10x)^{n-1}+{n \choose 2}(10x)^{n-2}+....{n \choose m-11}(10x)^{1}+1=\\=...
Zauważ że wszystkie składniki sumy prócz ostatniego są wielokrotnościami liczby 10. Stąd:
(10x+1)^n=(10x)^n+ {n \choose 1}(10x)^{n-1}+{n \choose 2}(10x)^{n-2}+....{n \choose m-11}(10x)^{1}+1=\\=10X+1
Analogicznie
(10x-1)^n=(10x)^n+ (-1)^1 {n \choose 1}(10x)^{n-1}+ (-1)^2{n \choose 2}(10x)^{n-2}+....+\\+ (-1)^{n-1}{n \choose m-11}(10x)^{1}+(-1)^{n} \cdot 1=10X+(-1)^{n} \cdot 1

Inaczej:
Ostatnie cyfry potęg liczby 3 tworzą ciąg okresowy:
3,9,7,1,3,9,7,1,3,....
(27^{432}-13^{111}) \ mod \ 10=(3^{3 \cdot 4 \cdot 108}-13^{4 \cdot 25+1}) \ mod \ 10=\\=
3^{4 \cdot (3 \cdot 108)} \ mod \ 10-13^{4 \cdot 25+1} \ mod \ 10=(1-3) \ mod \ 10=(-2) \ mod \ 10=8

Oczywiście można tę resztę znaleźć kilkoma innymi sposobami.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podaj zwarty wzór na sumę:  Heniek1991  4
 wartosc wyrazenia jest liczbą całkowitą  rochaj  5
 Podaj funkcję tworzącą dla podanego ciągu  mantoo  7
 Wyrażenia z dwumianem Newtona.  blondinetka  1
 Silnia-oblicz wartość wyrażenia  deftfan  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl