szukanie zaawansowane
 [ Posty: 22 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 wrz 2017, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Warszawa
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kacie prostym przy wierzchołku C. Z punktu P nalezacego do przyprostokątnej AC poprowadzono odcinek PQ taki że punkt Q należy do przeciwprostokątnej i odcinek PQ jest do niej prostopadły. Uzasadnij że \angle PCQ= \angle PBQ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 wrz 2017, o 23:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Podkarpacie
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2017, o 12:32 
Użytkownik

Posty: 2344
Rafsasie, Pański dowód o podobieństwie trójkątów prostokątnych w żaden sposób nie przystaje do równości miar kątów PCQ i PBQ, które w tych trójkątach nie występują. Proszę nie wprowadzać Agako w błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2017, o 13:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Podkarpacie
To nie jest dowód podobieństwa trójkątów prostokątnych lecz trójkątów APB i ACQ, być może i błędny, ale z pewnością na temat.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 wrz 2017, o 13:47 
Użytkownik

Posty: 2344
Nie na temat.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2017, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Białystok
Prowadzimy wysokość z C na AB otrzymamy punk D.\angle QCP =\alpha,\ \angle QCD =\beta. Z podobieństwa trójkątów APQ i ACD \angle APQ = \alpha +\beta = \angle ABC.

Wprowadzamy punkty E z przecięcia PB i QC oraz punkt F z przecięcia PB i CD.

(*) Z kątów dopisanych otrzymamy \angle CEB = \alpha +\angle CPB oraz \angle CFB =\alpha + \beta +\angle CPB.

Wprowadzamy oznaczenia pomocnicze \angle PBC = x,\ \angle PBA =y

Z kątów dopisanych \angle CFB = y+90^0 i z (*) otrzymamy, y+90^0=\alpha + \beta +\angle CPB

Z trójkąta prostokątnego CPB mamy \angle CPB +x =90^0 w kącie ACD wyznaczymy kąt o mierze y i zostanie nam kąt o mierze x i mamy podobieństwo trójkątów PBC i QCD, stąd x =\beta,\ y=\alpha. c.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2017, o 13:21 
Użytkownik

Posty: 2344
Proszę wykonać rysunek:

Oznaczamy:

-długość odcinka \overline{PQ}= d.

-miary kątów |\angle APQ| = |\angle ABC|= \alpha - kąty z ramionami zgodnie prostopadłymi.

- miary kątów: |\angle PCQ| =  \gamma, \ \  |\angle PBQ| = \beta.

- miarę kąta: |\angle CQP| = \epsilon = \alpha - \gamma.

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta CPQ

\frac{d}{\sin(\gamma)} = \frac{|PC|}{\sin(\epsilon)}.

\frac{d}{\sin(\gamma)} = \frac{|PC|}{\sin(\alpha -\gamma)} (1)

Z trójkąta prostokątnego PBC

|\overline{PC}| = |\overline{PB}|\sin(\alpha -\beta)(2)

Z trójkąta prostokątnego PBQ

|\overline{PB}| = \frac{d}{\sin(\beta)} (3)

Z (2), (3)

|\overline{PC}| = \frac{d}{\sin(\beta)}\sin(\alpha - \beta) (4)

Z (4) i (1)

\frac{d}{\sin(\gamma)} = \frac{d \sin(\alpha -\beta)}{\sin(\beta)\sin(\alpha -\gamma)}.

Stąd

\sin(\beta)\sin(\alpha -\gamma) = \sin(\gamma)\sin(\alpha-\beta).

\sin(\beta)[ \sin(\alpha)\cos(\gamma)- \sin(\gamma)\cos(\alpha)] = \sin(\gamma)[\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)]=0.

\sin(\alpha)\cos(\beta)\sin(\gamma)- \sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)= 0.

\sin(\alpha)[\cos(\beta)\sin(\gamma) -\sin(\beta)\cos(\gamma)] =0.

\sin(\alpha)\sin(\gamma - \beta)= 0.

\gamma = \beta, \ \  |\angle PCQ| = |\angle PBQ|.

c.b.d.o.

Zbyszku_uczen Twój dowód jest niewłaściwy, bo z ostaniej konkluzji nie wynika równość kątów, którą mamy wykazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2017, o 14:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
Proszę Państwa, dowód jest natychmiastowy, jeśli zauważymy, że na czworokącie CPQB można opisać okrąg.
Natomiast dowód użytkownika Rafsaf jest jak najbardziej poprawny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2017, o 16:14 
Użytkownik

Posty: 5401
Lokalizacja: Staszów
To bardzo elegancki dowód oparty o twierdzenia o kącie wpisanym w półokrąg i równości kątów wpisanych w okrąg opartych na tym samym łuku.
W.Kr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2017, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 2344
Dowód Rafsafa nie jest poprawny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2017, o 18:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
janusz47, proszę uzasadnić dlaczego. Ja bynajmniej nie widzę niczego niepoprawnego w rozumowaniu tego użytkownika.
kruszewski, zgadza się i dziękuję za opinię :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2017, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 5401
Lokalizacja: Staszów
Prawdą skądinąd jest, że trójkąty: \Delta   APB oraz \Delta  ACQ są podobne
i że zachodzą podane w liście Kolegi Rafsaf relacje między odpowiednimi bokami, ale wtedy, kiedy (wcześniej założymy, że) kąty \angle PCQ i \angle PBQ są sobie równe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 wrz 2017, o 16:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Podkarpacie
kruszewski

Kąty \angle ABP i \angle ACQ leżą naprzeciwko odpowiednio boków AP i PQ

Jeśli przyjmiemy na wiarę, że są to najmniejsze kąty w tamtych trójkątach, to wydaję mi się, że dowód będzie ok. Oczywiście najmnieszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku, więc wystarczy, że bok AP będzie najkrótszy w \Delta APB a AQ w \Delta ACQ

Nie jest trudno dowieść że tak rzeczywiście jest. W \Delta APB bok AB jest przeciwprostokątną trójkąta \Delta ABC więc jest najdłuższy, zaś skoro BP jest przeciwprostokątną trójkąta \Delta CPB to z pewnością jest dłuższy od CB, a skoro \left| AP\right| < \left| BC\right| (pamiętając że \left| BC\right| =\left| AC\right| ) to też \left| AP\right| < \left| BP\right| , więc mamy to co chcieliśmy: \left| AP\right| < \left| BP\right|< \left| AB\right|

Podobnie można wnioskować w \Delta ACQ, gdzie bok CAjest najdłuższy, zaś \left| AQ\right| <\left| CQ\right| bo CQ jest na pewno dłuższa od środkowej, zaś PQ na pewno krótsza.

Jestem bardzo ciekaw czy to wystarczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 wrz 2017, o 17:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
Rafsaf, osobiście co do Twojego rozumowania nie mam żadnych zastrzeżeń. Jeśli ktoś tego nie widzi, niech odłoży na półprostej AB punkt P' taki, że AP=AP'. Podobnie niech B' niech będzie takim punktem na półprostej AC, że AB=AB'. Ponieważ AP'=AP>AQ, to punkty A, Q i P' leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej. Analogicznie punkty A, C i B' leżą w tej kolejności na jednej prostej. Ponadto trójkąty APB i AP'B' są przystające na mocy cechy przystawania bkb (kąt \angle BAC jest ich wspólnym kątem). Zatem \angle PBA=\angle P'B'A. Teraz wkracza podobieństwo trójkątów ABC i APQ, które jest oczywiste. Na mocy ów podobieństwa \frac{AQ}{AC}= \frac{AP}{AB}, czyli \frac{AQ}{AC} = \frac{AP'}{AB'} \Leftrightarrow  \frac{AQ}{AP'}= \frac{AC}{AB'}. Z twierdzenia odwrotnego do Talesa wynika więc, że proste CQ i B'P' są równoległe, skąd \angle P'B'A=\angle QCA. Zatem rzeczywiście \angle QCA=\angle PBA.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 wrz 2017, o 17:54 
Użytkownik

Posty: 5401
Lokalizacja: Staszów
Do karolex123
Pisze Pan:
" Zatem \angle PBA=\angle P'B'A. Teraz wkracza podobieństwo trójkątów ABC i APQ, które jest oczywiste. Na mocy ów podobieństwa \frac{AQ}{AC}= \frac{AP}{AB}, czyli \frac{AQ}{AC} = \frac{AP'}{AB'}
\Leftrightarrow  \frac{AQ}{AP'}= \frac{AC}{AB'}. Z twierdzenia odwrotnego do Talesa wynika więc, że proste CQ i B'P' są równoległe, skąd \angle P'B'A=\angle QCA. Zatem rzeczywiście \angle QCA=\angle PBA ".
I to jest prawa, ale ten Pana dowód zawiera zdanie którego ma w ''dowodzie" Kolegi Rafsafa.
Z pozdrowieniami
W.Kr.
PS. Konstrukcja dowodu jest bardzo zmyślna, ale ten pierwszy jest bardo elegancki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 22 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trojkat prostokatny - zadanie 14  mrowkazzzzz  2
 trójkąt prostokątny - zadanie 12  Marie  1
 trójkąt prostokątny - zadanie 109  popekpl  1
 Trójkąt prostokątny - zadanie 63  Lechia93  1
 trójkąt prostokątny - zadanie 44  oslidz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl