szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 wrz 2017, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Krasnystaw
W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Ponadto boki tego czworokąta spełniają warunek |AB|-|CD|=|BC|-|AD|. Wiedząc, że przekątne czworokąta mają długość 5cm i 8cm, oblicz jego pole.

Podpowiedź jest taka, żeby pokazać, że ten czworokąt to deltoid. Jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 00:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10103
Lokalizacja: Wrocław
Skoro da się wpisać okrąg w ten czworokąt, to
|AB|+|CD|=|BC|+|AD|
(sumy przeciwległych boków muszą być równe).
Dodając tę równość stronami do równości
|AB|-|CD|=|BC|-|AD| i dzieląc otrzymaną równość stronami przez 2, mamy
|AB|=|BC|, stąd i z pierwszej równości jest |CD|=|AD|.
No to mamy deltoid, a dalej nie powinno być trudno, wzór na pole deltoidu i do widzenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 00:20 
Użytkownik

Posty: 3602
Lokalizacja: Kraków PL
witia1990 napisał(a):
Ponadto boki tego czworokąta spełniają warunek |AB|-|CD|=|BC|-|AD|.
Powinno być:

    \left|AB\right|-\left|BC\right|=\left|AD\right|-\left|CD\right|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 00:24 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Krasnystaw
Premislav napisał(a):
Skoro da się wpisać okrąg w ten czworokąt, to
|AB|+|CD|=|BC|+|AD|
(sumy przeciwległych boków muszą być równe).
Dodając tę równość stronami do równości
|AB|-|CD|=|BC|-|AD| i dzieląc otrzymaną równość stronami przez 2, mamy
|AB|=|BC|, stąd i z pierwszej równości jest |CD|=|AD|.
No to mamy deltoid, a dalej nie powinno być trudno, wzór na pole deltoidu i do widzenia.


Rozumiem. Też doszedłem do tych równości. Ale w jaki sposób wykazać, że przekątne przecinają się pod kątem prostym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 00:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10103
Lokalizacja: Wrocław
Podzielić ten czworokąt na dwa trójkąty równoramienne sklejone jednym bokiem i zauważyć, że wysokości (i zarazem dwusieczne kątów między równymi bokami) dzielą ten wspólny bok na dwie równe części (może trochę niejasno piszę, bo od lat nie robiłem planimetrii :(). Zatem te wysokości (które raze tworzą jedną z przekątnych czworokąta) stykają się w jednym punkcie z tym wspólnym bokiem trójkątów równoramiennych, czyli z drugą przekątną (no i wobec tego jasne że pod kątem 90^{\circ}).

-- 14 wrz 2017, o 00:31 --

SlotaWoj, o co chodzi? :o To nie jest jakaś impertynencja, tylko szczerze nie rozumiem uwagi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 01:02 
Użytkownik

Posty: 3602
Lokalizacja: Kraków PL
Premislav napisał(a):
SlotaWoj, o co chodzi? :o
Bo dla deltoidu (w zależności, od którego wierzchołka zaczynamy oznaczanie) może też być:

    \left|AB\right|-\left|CD\right|={\red{-}}\left(\left|BC\right|-\left|AD\right|\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 07:38 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Krasnystaw
SlotaWoj napisał(a):
witia1990 napisał(a):
Ponadto boki tego czworokąta spełniają warunek |AB|-|CD|=|BC|-|AD|.
Powinno być:

    \left|AB\right|-\left|BC\right|=\left|AD\right|-\left|CD\right|


Taka była treść zadania, dlatego tak napisałem
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czworokąt opisany na okręgu - zadanie 8  kasia145_1994  1
 czworokąt opisany na okregu  nogiln  1
 czworokąt opisany na okręgu - zadanie 10  justyna0811  1
 Czworokąt opisany na okręgu - zadanie 2  Ruccio  2
 czworokąt opisany na okręgu - zadanie 3  nataleczkafr  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl