szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 00:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 130
Lokalizacja: Płock
Witam, poszukuję dowodu pewnego twierdzenia (o wprowadzaniu granicy do argumentu funkcji ciągłej). Niestety nigdzie nie mogę tego znaleźć. Mógłby ktoś mnie naprowadzić?

Jeżeli istnieje granica właściwa \lim_{x \to x_0} f(x) = g, a funkcja h(z) jest ciągła w punkcie z_0=g, to \lim_{x \to x_0} h(f(x))= h\left( \lim_{x \to x_0} f(x)\right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 02:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10103
Lokalizacja: Wrocław
Taka tam pisanina. To, że \lim_{x \to x_0}f(x)=g oznacza (definicja Heinego granicy funkcji), że dla każdego ciągu (x_n) spełniającego \lim_{n \to  \infty }x_n=x_0, \ x_n \neq x_0 mamy
\lim_{n \to  \infty } f(x_n)=g.
Ciągłość funkcji h(z) w punkcie z_0=g (znów definicja Heinego) oznacza, że
dla dowolnego ciągu (z_n) spełniającego \lim_{n \to  \infty  } z_n=g mamy
\lim_{n \to  \infty } h(z_n)=h(g)
Niech (x_n) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do x_0 i niech z_n=f(x_n), n=1,2\ldots. Oczywiście mamy z treści (i z tego, co powyżej napisałem)
\lim_{n \to  \infty } z_n=g. Zatem
\lim_{n \to  \infty }h(z_n)=h(g)
tj.
\lim_{n \to  \infty } h(f(x_n))=h(g)=h\left(  \lim_{n \to  \infty }f(x_n) \right)
a to wobec dowolności ciągu (x_n), \ x_n \neq x_0 zbieżnego do x_0 kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2017, o 11:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 130
Lokalizacja: Płock
Dzięki, sprawa jest jaśniejsza :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice funkcji.  Anonymous  6
 Szukanie funkcji ciągłej spełniającej określony warunek  Ptolemeusz  9
 Granice funkcji wielu zmiennych  malgosia  1
 (6 zadań) Obliczanie granic funkcji  Anonymous  6
 Granica funkcji.  marcin-tryka  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl