szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 wrz 2017, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Poznań
Chciałabym prosić o jakąś wskazówkę, która pomoże w rozwiązaniu poniższego zadania:

Niech\left(X\times Y, T\right) będzie iloczynem kartezjańskim spójnych przestrzeni metryzowalnych, z których każda ma co najmniej dwa punkty. Wykazać, że dopełnienie \left( X \times Y\right) \setminus A dowolnego zbioru przeliczalnego jest spójne.

Niestety udało mi się tylko ustalić, że skoro \left(X,T\right) i \left( Y,T\right) mają co najmniej dwa punkty i są spójnymi przestrzeniami metryzowalnymi to zbiory X i Y są nieprzeliczalne oraz dopełnienie \left( X \times Y\right) \setminus A dowolnego zbioru przeliczalnego jest nieprzeliczalne.
Niestety na tym się zatrzymałam, może ktoś mógłby naprowadzić moje myślenie na jakiś tor pomocny w rozwiązaniu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2017, o 20:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 187
Lokalizacja: brak
Fałszywe :) X = Y = \mathbb Z z metryką dyskretną. Wtedy dopełnienie \{0\} \times \mathbb Z można zapisać jako sumę dwóch otwartych podzbiorów, "półpłaszczyzn".
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 wrz 2017, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Poznań
Hmm, ale \mathbb{Z} chyba nie jest spójny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2017, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 15347
Lokalizacja: Bydgoszcz
A zakładałaś spójność X i Y?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 wrz 2017, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Poznań
a4karo, dziękuję za istotną uwagę, faktycznie tej informacji brakuje w pytaniu (już poprawiłam).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2017, o 13:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 750
Lokalizacja: Warszawa
Spójność przestrzeni X \times Y można dowodzić tak. Niech rozłączne zbiory otwarte U,V pokrywają X \times Y. Ze spójności X każde włókno X \times \{ y \} jest zawarte w jednym ze zbiorów U,V; podobnie każde włókno \{ x \} \times Y. Stąd już wynika, że całe X \times Y jest zawarte w którymś z tych dwóch zbiorów.

Jeśli wiesz, że zbiory X,Y są nieprzeliczalne, to prawie każde włókno X \times \{ y \} jest rozłączne ze zbiorem A, a więc można powtórzyć powyższe rozumowanie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 wrz 2017, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Poznań
Dziękuję za pomoc ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2017, o 21:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 187
Lokalizacja: brak
Jak to pomaga w rozwiązaniu zadania? Czasami usunięcie jednego punktu ze zbioru może rozspójnić (na przykład odcinek i jego środek).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2017, o 22:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2804
Lokalizacja: Radom
Ale odcinek nie jest iloczynem kartezjanskim dwoch nieprzeliczalnych spojnych przestrzeni topologicznych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2017, o 23:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 187
Lokalizacja: brak
To prawda. Czy możemy uogólnić? Produkt większej ilości przestrzeni, ale i usuwamy więcej punktów?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 wrz 2017, o 23:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2804
Lokalizacja: Radom
Jak weźmiesz produkt \prod_{i \in I}^{} X_i to i tak ostatecznie to jest homeomorficzne z X_{i_0} \times \left( \prod_{i \in I-\left\{ i_0\right\}}^{ } X_i  \right). Czyli sprowadza się to do produktu dwóch przestrzeni i jedyne założenie, które jest potrzebne to: |X|,|Y|>|A|
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jest to przestrzena metryczna jesli spelnione sa warunki...  Naiya  4
 (2 zadania) Wykazać, że t\A jest topologia itp.  DominikaWarzech  1
 Odległość hausdorffa jest metryką!  mada  0
 Każdy zbiór skończony jest zbiorem domkniętym.  marcia07  8
 Czy zbiór jest spójny??  magda2530  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl