szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2017, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 1491
Lokalizacja: Kraków
Witam.

Chcę wyznaczyć równania w następującym obwodzie RLC: link. Chciałbym to zrobić na dwa sposoby, tj. pisząc równania w postaci macierzowej, a później może przechodząc do dziedziny zespolonej. Sporo zapomniałem z elektrotechniki, dlatego proszę o pomoc.
Co prawda to dziwne, że x_1 oznacza napięcie, a x_2 , x_3 to prądy, ale może uda się nie pogubić.

Na cewce zachodzi: u(t) = L \frac{\dd i}{\dd t}, a na kondensatorze i(t) = C \frac{ \dd u}{\dd t}.

Dolne oczko:
u_2 = L_2 \dot{x}_2 + L_1 \dot{x}_3 + x_2 R_2

Prąd w górnej gałęzi oznaczmy i_1. Teraz prądowe prawo:
x_2 + i_1 = x_3

No i górne oczko:
u_1 = -i_1 R_1 + L_1 \dot{x}_3 + \mbox{coś}.

Nie wiem jak wyznaczyć tego "cosia". Chciałbym dostać układ równań różniczkowych, ale skoro i = C \dot{u}, to u = \frac{1}{C}  \int_{0}^{t} i(\tau) \dd \tau + u_0, to zrobi się z tego równanie całkowe, którego rozwiązać nie potrafię.

Nie mam na to innego pomysłu. Może by tak próbować liczyć rezystancję zastępczą pozostałej części obwodu i na podstawie tego wyznaczyć jakoś i_1, ale nie wiem jak to zrobić nie przechodząc do dziedziny zespolonej, której póki co chcę uniknąć.

Uczepiłem się tak tych równań różniczkowych, bo zadanie polega na zapisaniu równań w układzie w postaci \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du

Będę wdzięczny za wskazówki.

Edit: Hmm, a jakby tak zróżniczkować to problematyczne równanie i tym samym pozbyć się całki? No tylko wtedy zrobi się z tego równanie drugiego rzędu, więc ten sposób chyba odpada.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2017, o 18:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1851
Lokalizacja: Warszawa
NogaWeza napisał(a):
Dolne oczko:
u_2 = L_2 \dot{x}_2 + L_1 \dot{x}_3 + x_2 R_2
Ok.

Górne oczko:

-R_1(x_3-x_2)+u_1-x_1-L_1 \dot{x}_3=0
(jest to drugie równanie stanu; pierwsze równanie \dot{x}_2=\ldots można otrzymać obustronnie dodając powyższe równania napięciowe)

Trzecie równanie stanu:

C\dot{x}_1=x_3-x_2

i równanie wyjścia:

y=u_1-x_1

Czego więcej potrzeba?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2017, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 1491
Lokalizacja: Kraków
W moim przypadku umysłu...

\begin{cases} C \dot{x}_1 = x_3 - x_2 \\ L_2 \dot{x}_2 + L_1 \dot{x}_3 + x_2 R_2 - u_2 = 0 \\ u_1 -R_1 (x_3 - x_2) - L_1 \dot{x}_3 - x_1 = 0 \end{cases}

Zastępuję równanie drugie sumą równania drugiego i trzeciego:

\begin{cases} C \dot{x}_1 = x_3 - x_2 \\ L_2 \dot{x}_2 + x_2 R_2 - u_2 + u_1 -R_1 (x_3 - x_2) - x_1 = 0 \\ u_1 -R_1 (x_3 - x_2) - L_1 \dot{x}_3 - x_1 = 0 \end{cases}

\dot{x} (t) = \left[\begin{array}{ccc}0&-\frac{1}{C}&\frac{1}{C}
\\
\frac{1}{L_2}&\frac{-(R_1 + R_2)}{L_2}&\frac{R_1}{L_2}
\\
\frac{-1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1}&\frac{-R_1}{L_1}\end{array}\right] x + \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\-\frac{1}{L_2}&\frac{1}{L_2}&0\\\frac{1}{L_1}&0&0\end{array}\right] u

y = [-1 , 0 , 0] x + [1,0,0]u

O ile się nie pomyliłem w rachunkach, to jakoś tak to będzie. Nie wiem co mi odwaliło przy pisaniu tego pierwszego posta, przecież napięcie na kondensatorze było po prostu oznaczone jako x_1, wystarczyło z tego zrobić równanie prądowe.

Jeszcze taka uwaga, że tam źle ostrzałkowałem napięcie na R_1, oby nikogo w przyszłości to nie skonfundowało.

Metodę zespoloną sobie jednak odpuszczę, ale w tym przypadku chyba dość dobrze sprawdziłaby się metoda potencjałów węzłowych, a potem x_1, x_2, x_3 wyliczyłbym sobie na piechotę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prądy w obwodzie - prawa Kirchhoffa  turgon  4
 nateżenie prądu w obwodzie RC  Odolan  1
 wartości zespolone prądów w obwodzie - 2 zadania  Fristajler  10
 pytanie o przesunięcie fazowe w obwodzie  dżi-unit  1
 Wzór na napięcie skuteczne w obwodzie RLC  losie0  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl