szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 wrz 2017, o 10:37 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Kobiór
Witam, mam problem z tym residuum, te normalne z liczbami umiem rozwiązywać jednak tutaj napotykam problem :(
res _{z _{0}= 2i } =  \frac{1}{z ^{2}(z ^{2}  +4)}
Liczba 2i jest biegunem 2-krotnym?
Jeżeli zrobię z ^{2} +4 = 0 to wychodzi mi z ^{2} = -4. Nie mam pomysłu...
Byłby mi ktoś w stanie rozwiązać to zadanie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 wrz 2017, o 11:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13352
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Liczba 2i jest biegunem 2-krotnym?

Nie.

Cytuj:
Byłby mi ktoś w stanie rozwiązać to zadanie?

Jeszcze jak (pominę to, że Twój zapis jest nie najlepszy, że tak sobie pozwolę na zgrabny eufemizm).
\frac{1}{z^2(z^2+4)} = \frac{1}{4} \left(  \frac{z^2+4-z^2}{z^2(z^2+4)} \right) =\\= \frac{1}{4z^2}- \frac{1}{4z^2+16}= \frac{1}{4z^2}-\frac 1 {16i}\cdot  \frac{z+2i-(z-2i)}{(z+2i)(z-2i)}=\\= \frac{1}{4z^2}- \frac{1}{16i} \cdot  \frac{1}{z-2i} + \frac{1}{16i} \cdot  \frac{1}{4i+z-2i}=\\=\frac{1}{4z^2}-\frac{1}{16i}\cdot \frac{1}{z-2i}-\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{1+ \frac{z-2i}{4i} }=\frac{1}{4z^2}-\frac{1}{16i}\cdot \frac{1}{z-2i}-\frac 1 {64} \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -1\right)^n\left( \frac{z-2i}{4i}\right)^n
- ostatnia równość ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. A to \frac{1}{4z^2} to pies, nie ma bieguna (ani osobliwości nieusuwalnej) w z_0=2i, więc jego wkład w residuum jest zerowy i nawet nie trzeba tego rozwijać w Laurenta (i tak za dużo rozwijałem, tego ostatniego ułamka nie trzeba było rozwijać, bo jak funkcja wymierna nie ma osobliwości w jakimś punkcie, to się rozwija w szereg Taylora o środku w tym punkcie i do widzenia).
Wynik: -\frac{1}{16i}=\frac{i}{16}

Inne rozwiązanie: w z_0=2i mamy biegun jednokrotny,
korzystamy ze wzorku z tego wątku 422624.htm (jest także na wiki).
\mathrm{res}_{z_0=2i} \frac{1}{z^2(z^2+4)}=\frac{1}{(1-1)!} \lim_{z \to 2i }(z-2i) \frac{1}{z^2(z^2+4)}=\\= \lim_{z \to 2i} \frac{1}{z^2(z+2i)} =- \frac{1}{16i}= \frac{i}{16}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 wrz 2017, o 11:47 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: Kobiór
Chodziło mi raczej o takie rozwiązanie jak to drugie :))
Kombinowałem coś żeby do tego nawiasu wstawić to 2i tyle że wzory skróconego mnożenia musiałem jakieś robić i się nie chciało skracać :)
Tak czy inaczej jesteś wielki, dzięki !!
Pochwała przyznana , dałbym więcej ale nie można :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Residuum funkcji - zadanie 7  kuslaaaaaw  1
 Residuum funkcji - zadanie 8  primax  5
 residuum funkcji  ragazzo  1
 Residuum funkcji - zadanie 2  ragazzo  4
 residuum funkcji - zadanie 3  magda877  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl