szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 10:41 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
Niech f: [0,1] \to [0, +\infty) jest funkcją, która ma tę własność, że:
f(x+y) \geq f(x) + f(y) o ile x+y \leq 1 oraz f(1)=1.
Udowodnić, że f(x) \leq 2x gdy x \in [0, 1].

-- 28 września 2017, 21:44 --

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1385
Lokalizacja: Katowice
gdy x\ge y to mamy f(x)\ge f(y)+f(x-y)\ge f(y)

poza tym f(2x)=f(x+x)\ge f(x)+f(x)=2f(x)

z powyższego f(0)\ge 2f(0), więc 0\ge f(0) czyli f(0)=0, w szczególności f(x)\le 2x dla x=0

gdy x>0 to bierzemy takie n\in \mathbb N, że \frac{1}{2^{n+1}}<x\le \frac{1}{2^n}, wtedy to f(x) \le \frac{f(2x)}{2}\le\frac{f(4x)}{4}\le\ldots\le\frac{f(2^nx)}{2^n}\le \frac{1}{2^n}<2x i teza w tym przypadku też jest spełniona!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 5492
Lokalizacja: Kraków
:arrow: Czy przy tych założeniach istnieje a<2f(x) \leq ax dla x \in [0,1] ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1385
Lokalizacja: Katowice
:arrow: nie, co pokazuje przykład f(0)=0, f(x)=\frac{1}{2^n} dla \frac{1}{2^{n+1}}<x\le\frac{1}{2^n} 8-)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja i nierówność  tomek1495  1
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl