szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 19:10 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Według Wikipedii:
Cytuj:
Termin „pojęcie pierwotne” był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle).

Cała treść: https://pl.wikipedia.org/wiki/Poj%C4%99cie_pierwotne
Z drugiej strony na forum czy w książkach pojęcia takie jak zbiór, należenie i element są oznaczane jako pojęcia pierwotne. Jak to z tym w końcu jest?

Pewne odpowiedzi przynosi artykuł: https://pl.wikipedia.org/wiki/Rachunek_ ... rz%C4%99du, jednak nie wszystko jest dla mnie zrozumiałe. Czy mógłby ktoś wyjaśnić o co w tym wszystkim chodzi? Jak w takim razie definiujemy obecnie podwaliny matematyki jakimi są te pojęcia (w końcu z teorii mnogości można wszystko wyprowadzić)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 19:14 
Użytkownik

Posty: 222
Lokalizacja: Warszawa
Jeżeli coś powiem źle, to proszę mądrzejszych o poprawienie mnie. :)

Matematyka zajmuje się pewnymi abstrakcyjnymi obiektami, jak na przykład punkt, prosta czy liczba. W pewnym momencie nagromadziło się tak wiele tych wszystkich pojęć i ich właściwości, że zmusiło to matematyków do uporządkowania tego wszystkiego. pierwszy zrobił to Euklides w swoim dziele "Elementy".
Chciał On uporządkować jakoś geometrię, ale stwierdził, że nie da się konsekwentnie budowanym systemie określić wszystkich tych pojęć i udowodnić prawdziwości wszystkich wniosków.
Więc zrobił tak, że wyodrębnił o pewne obiekty, których nie określał - są to tak zwane pojęcia pierwotne. Tak samo zrobił z niektórymi wnioskami - przyjął, że są prawdziwe bez dowodu i nazywamy je pewnikami.
A wszystko inne określił, a twierdzenia udowodnił powołując się tylko na pewniki i twierdzenia udowodnione wcześniej.
W ten sposób powstała pierwsza teoria aksjomatyczna (dedukcyjna).

Aksjomatem jest twierdzenie (jakiś wniosek) przyjęte bez dowodu.


Ale Euklides nie był jedyny, który zebrał te znane ludzkości intuicyjnie pojęcia. Byli też inni. Tylko, że oni określili co innego za pojęcia pierwotne i aksjomaty.
W aksjomatyce Euklidesowej jest jeden pewnik, którego usunięcie spowoduje nam, że otrzymamy teorię, która nazywa się geometrią absolutną, a zastąpienie tego pewnika (V pewnik Euklidesa) innym - sprzecznym pewnikiem, tworzy nam tym samym geometrię nieeuklidesową.


W XX wieku powstała teoria sformalizowana:
http://encyklopedia.naukowy.pl/Teoria_sformalizowana

Gdzie podane są jasno ustalone reguły wnioskowania, z którą osobiście mam problem i doprowadzam tym samym użytkowników tego forum do białej gorączki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Dziękuję za odpowiedź. Wszystko to co napisałeś rozumiem, jednak nie do końca odpowiada na moje pytanie (być może niewłaściwie je zadałem).
Wiem, że przykładowo punkt w geometrii jest pojęciem pierwotnym, natomiast na gruncie teorii mnogości możemy opisać punkt jako uporządkowaną parę liczb przy pomocy definicji Kuratowskiego.
Co jednak z pojęciami takimi jak należenie, zbiór, element? Jak w to wszystko "wejść głębiej"? Odpowiedzi na moje pytania przyniosłaby teoria modeli? Semiotyka?
Rozbitek napisał(a):
Aksjomatem jest twierdzenie (jakiś wniosek) przyjęte bez dowodu.

Chyba jednak nie do końca. Przepraszam, że powołuję się znowu na Wikipedię, ale:
Cytuj:
Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2017, o 07:43 
Użytkownik

Posty: 222
Lokalizacja: Warszawa
Specjalista napisał(a):
Wiem, że przykładowo punkt w geometrii jest pojęciem pierwotnym, natomiast na gruncie teorii mnogości możemy opisać punkt jako uporządkowaną parę liczb przy pomocy definicji Kuratowskiego.
Co jednak z pojęciami takimi jak należenie, zbiór, element? Jak w to wszystko "wejść głębiej"?
Rozbitek napisał(a):
Aksjomatem jest twierdzenie (jakiś wniosek) przyjęte bez dowodu.

Chyba jednak nie do końca. Przepraszam, że powołuję się znowu na Wikipedię, ale:
Cytuj:
Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.


Pojęcie zbioru i należenia do niego elementu są pojęciami pierwotnymi. Podejrzewam, że ze względu na ogólność rozpatrywanych pojęć, nie tylko w obrębie liczb. Jednak jeżeli chcielibyśmy rozpatrywać tylko liczby to sądzę, że stworzenie nowej aksjomatyki mogłoby mieć ręce i nogi. Do wnikliwych świat należy. :)

Ale mogłaby Cię zainteresować Topologia, uogólnienie pewnych pojęć do innych przestrzeni, to chyba najlepsze co matematyka może nam dzisiaj zaoferować pod tym względem.


Co do aksjomatu - nie widzę błędu w tym co przedstawiłem, ale skoro Ty widzisz, a ja nie widzę, to z pewnością źle przedstawiłem, co samo w sobie jest błędem, wybacz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2017, o 11:25 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Rozbitek napisał(a):
Pojęcie zbioru i należenia do niego elementu są pojęciami pierwotnymi.

W takim razie jak odniesiesz się do tego?
Cytuj:
Na przykład o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu L(\in). W starym podejściu powiedzielibyśmy że \in jest pojęciem pierwotnym


-- 2 paź 2017, o 19:15 --

Nikt nie zagłębiał się w teorię mnogości na tyle, żeby odpowiedzieć na to pytanie? Nawet obecny na forum Jan Kraszewski?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2017, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Cytuj:
Na przykład o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu L(\in). W starym podejściu powiedzielibyśmy że \in jest pojęciem pierwotnym

W moim przekonaniu chodzi o to, że termin "pojęcie pierwotne" jest nieprecyzyjny i intuicyjny i na chwilę obecną można go zastąpić terminem, który jest sformalizowany od strony logiki. Jeśli nie zagłębiamy się za bardzo w logikę, to można śmiało powiedzieć, że zbiór i należenie do zbioru to pojęcia pierwotne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2017, o 02:30 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
matmatmm napisał(a):
W moim przekonaniu chodzi o to, że termin "pojęcie pierwotne" jest nieprecyzyjny i intuicyjny i na chwilę obecną można go zastąpić terminem, który jest sformalizowany od strony logiki. Jeśli nie zagłębiamy się za bardzo w logikę, to można śmiało powiedzieć, że zbiór i należenie do zbioru to pojęcia pierwotne.

Dziękuję za odpowiedź. Problem w tym, że właśnie chce zagłębić się w to jak najbardziej, gdzie te pojęcia nie są pojęciami pierwotnymi. Jak to wygląda w takim przypadku?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2017, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Ja bym powiedział, że one w dalszym ciągu są pojęciami pierwotnymi, tylko ta nazwa wyszła z użycia, gdyż nie niesie żadnej konkretnej informacji (z punktu widzenia logiki formalnej). Może to porównanie nie będzie zbyt trafne, ale jest z tym trochę tak, jak z definicją funkcji. W szkole uczy się, że funkcja to przyporządkowanie każdemu elementowi z jednego zbioru dokładnie jednego elementu z drugiego zbioru. Tymczasem na studiach okazuje się, że formalnie ta definicja nic nie mówi i funkcję trzeba zdefiniować jako relację o odpowiednich własnościach. Czy to sprawia, że funkcja przestaje być przyporządkowaniem? Podobnie zbiór i należenie do zbioru pozostają pojęciami pierwotnymi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Temat uważam dalej za otwarty. Jeśli ktoś potrafi to wytłumaczyć lub wie, gdzie znajdę odpowiedź na swoje pytanie to będę wdzięczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 01:41 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: Rzeszów
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_3:_Rachunek_predykat%C3%B3w%2C_przyk%C5%82ad_teorii_w_rachunku_predykat%C3%B3w Tu masz aksjomatyczny rachunek predykatów, czyli teorię pierwszego rzędu. Teoria mnogości ZFC jest też teorią w języku pierwszego rzędu, z jednym symbolem predykatywnym- \in.

Od razu mogę wyjaśnić, że ponieważ w teorii mnogości ZFC nie ma stałych, ani symboli funkcyjnych, więc termami są po prostu symbole zmiennych.

Masz to tu opisane, też opisane jest, że w oparciu o logikę predykatów można budować nowe teorie, dodając inne (pozalogiczne) aksjomaty. Masz tam prosty przykład takiej teorii. Teoria mnogości ZFC też się opiera na rachunku predykatów, oraz na aksjomatach teorii mnogości.

Jednak nie polecam zbyt formalnego podejścia do teorii mnogości. Takie podejście wymaga na przekształcaniu skomplikowanych napisów( nawet nie wiem jak bardzo, ale na pewno bardzo... :| :| ) Natomiast, na poziomie rozumienia teorii mnogości, to bardzo gorąco polecam się zainteresować. :D :D Wtedy też bardziej będę mógł pomóc. :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kilka zadań z Wstępu do matematyki  __MicK  3
 Funkcje- Wstęp do matematyki  kamrad  3
 pojęcie antyłańcucha  zxcvbnmqwertyuiop  3
 Singleton - ciekawe pojęcie.  KotwButach  7
 Pojęcie zbioru  Mariusz_Sw  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl