szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:23 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
Mam wykazać, że funkcjaf(x)=3x ^{2} +2 jest malejąca w przedziale (- \infty ;0)
Zacząłem od tego że skoro jest malejąca to według definicji f(x _{1})>f(x _{2}), a x _{1} <x_{2}, więc
(3x_{1}^{2} +2)-(3x _{2}  ^{2} +2)<0
3x _{1}  ^{2} +2-3x _{2}  ^{2} -2<0
3x _{1}  ^{2} - 3x _{2}  ^{2} <0
3(x _{1} -x _{2} )(x _{1} + x_{2})<0

Czy to jest dobrze zrobione?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
Definicja funkcji malejącej mówi, że funkcja f maleje na pewnym zbiorze A, o ile dla x _{1}, x _{2} \in A takich, że x _{1}<x _{2} prawdziwa jest nierówność f(x _{1})>f(x _{2} ). Musisz zatem udowodnić, że f(x _{1})>f(x _{2} ) przy założeniu, że x _{1}<x _{2} - w ten sposób powinno wyglądać wnioskowanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
No tak, udowodniłem że x _{1} < x_{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
Masz udowodnić, że f(x _{1})>f(x _{2}) przy założeniu, że x _{1}<x _{2}. Taki musi być kierunek implikacji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
To jak to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
Wybierasz argumenty x _{1}, x _{2}  \in \left( - \infty ,0 \right) tak, że x _{1} <x _{2}. Teraz liczymy różnicę f(x _{1} )-f(x _{2}):
f(x _{1} )-f(x _{2})=3x _{1} ^{2} +2-3x _{2} ^{2}-2=3\left( x _{1} ^{2}-x _{2}  ^{2}   \right)  =3\left( x _{1}-x _{2}  \right)\left( x _{1}+x _{2}  \right)
Teraz wyciągasz wnioski i dowodzisz, że powyższa różnica jest dodatnia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
Dobra rozumiem, argumenty są ujemne więc w obu nawiasach wyjdą minusy, które razem dadzą plus, ale czy trzeba tego dowieść czy można już tak zostawić?

-- 28 wrz 2017, o 22:27 --

Spróbuję jeszcze raz
Mam udowodnić że funkcjaf(x)=4-5x ^{2} maleje w przedziale (0; + \infty)
x_{1}<x_{2} \\
 f(x _{1}) -f(x_{2})>0 \\
 (4-5x_{1} ^{2}) - (4-5x_{2}^{2})>0 \\
 4-5x_{1} ^{2} - 4+5x_{2}^{2}>0 \\
 -5x_{1} ^{2}+5x_{2} ^{2} > 0 \\
 -5(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})>0

Teraz dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 wrz 2017, o 23:31 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Jmoriarty napisał(a):
Dobra rozumiem, argumenty są ujemne więc w obu nawiasach wyjdą minusy, które razem dadzą plus, ale czy trzeba tego dowieść czy można już tak zostawić?

To nie jest poprawne wnioskowanie.

Jmoriarty napisał(a):
Spróbuję jeszcze raz
Mam udowodnić że funkcjaf(x)=4-5x ^{2} maleje w przedziale (0; + \infty)
x_{1}<x_{2} \\
 f(x _{1}) -f(x_{2})>0 \\
 (4-5x_{1} ^{2}) - (4-5x_{2}^{2})>0 \\
 4-5x_{1} ^{2} - 4+5x_{2}^{2}>0 \\
 -5x_{1} ^{2}+5x_{2} ^{2} > 0 \\
 -5(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})>0

Teraz dobrze?

Ale co "dobrze"? Dowód to wnioskowanie, a nie kilka linijek znaczków. Masz napisać, co zakładasz, a potem jak wykorzystując to założenie wnioskujesz o prawdziwości tezy.

Tutaj masz poprawne przekształcenia, ale nie masz dowodu.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 06:40 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
Jan Kraszewski napisał(a):
To nie jest poprawne wnioskowanie.

Dlaczego? Więc jakie jest poprawne?

Jan Kraszewski napisał(a):
Ale co "dobrze"? Dowód to wnioskowanie, a nie kilka linijek znaczków. Masz napisać, co zakładasz, a potem jak wykorzystując to założenie wnioskujesz o prawdziwości tezy.

Tutaj masz poprawne przekształcenia, ale nie masz dowodu.

JK

To jak to zrobić dalej? Jak to w ogóle zrobić? Dobrze zacząłem i po prostu musze coś jeszcze dopisać czy całkiem inaczej powinienem zacząć? Mogę prosić o wytlumaczenie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 14:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 360
Lokalizacja: Pomorskie
Jmoriarty, z tego, że argumenty x _{1} i x _{2} są ujemne nie wynika, że x _{1}-x _{2} <0. Ostatnia nierówność jest prawdziwa, lecz na mocy przyjętych założeń. Zalecam poznać istotę matematycznego dowodu, wnioskowania i argumentacji. Jest to kluczowe, aby przeprowadzać własne rozumowania, których obecność jest wymagana w tego typu zadaniach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
Jak to nie wynika? Przecież skoro x_{1}<x_{2}, to np jeśli podstawie coś takiego: x_{1}=-2 i x_{2}=-1 to wyjdzie z tego liczba ujemna..
Wiem jak sie dowodzi, proszę tylko o zrobienie tego przykładu, wtedy będę mógł zrozumieć tok rozumowania..
Tak w ogóle to nawet jak oglądałem na youtube to ktoś dowodził właśnie w taki sposób jak ja (https://www.youtube.com/watch?v=x6LqxHLgLZE) ogólnie to ja nie wymyśliłem tego sam, miałem to na lekcji
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 15:15 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Jmoriarty napisał(a):
To jak to zrobić dalej? Jak to w ogóle zrobić? Dobrze zacząłem i po prostu musze coś jeszcze dopisać czy całkiem inaczej powinienem zacząć? Mogę prosić o wytlumaczenie?

Popatrz, jak zaczął swój dowód karolex123:
karolex123 napisał(a):
Wybierasz argumenty x _{1}, x _{2}  \in \left( - \infty ,0 \right) tak, że x _{1} <x _{2}. Teraz liczymy różnicę f(x _{1} )-f(x _{2}):
f(x _{1} )-f(x _{2})=3x _{1} ^{2} +2-3x _{2} ^{2}-2=3\left( x _{1} ^{2}-x _{2}  ^{2}   \right)  =3\left( x _{1}-x _{2}  \right)\left( x _{1}+x _{2}  \right)
Teraz wyciągasz wnioski i dowodzisz, że powyższa różnica jest dodatnia.

To jest wypowiedź zapisana przy pomocy zdań w języku polskim, znaczki pełnią tylko funkcję pomocniczą. Tok rozumowania jest dokładnie opisany, wiadomo, co oznaczają użyte znaczki i po co są użyte. Żeby ten dowód był kompletny, trzeba zrobić to, co jest napisane na końcu, ale też opisując to przy pomocy zdań w języku polskim.

Pamiętaj: dowód powinien dać się przeczytać! A Twój "dowód" wygląda jak kod dla wtajemniczonych - ściana znaczków.

Jmoriarty napisał(a):
Jak to nie wynika? Przecież skoro x_{1}<x_{2}, to np jeśli podstawie coś takiego: x_{1}=-2 i x_{2}=-1 to wyjdzie z tego liczba ujemna..

Ale to nie ma nic wspólnego z tym, że obie te liczby są ujemne, tylko z założeniem x_{1}<x_{2}, o którym nawet się nie zająknąłeś (poza tym to, że wyszło Ci coś na przykładzie jeszcze o niczym nie świadczy). Napisałeś
Jmoriarty napisał(a):
Dobra rozumiem, argumenty są ujemne więc w obu nawiasach wyjdą minusy, które razem dadzą plus, ale czy trzeba tego dowieść czy można już tak zostawić?

co wskazuje na to, iż uważasz, że ujemność OBU nawiasów wynika ze znaku argumentów.

Jmoriarty napisał(a):
Tak w ogóle to nawet jak oglądałem na youtube to ktoś dowodził właśnie w taki sposób jak ja (https://www.youtube.com/watch?v=x6LqxHLgLZE) ogólnie to ja nie wymyśliłem tego sam, miałem to na lekcji

Ten ktoś nie dowodził tak, jak Ty. W dowodzie, zwłaszcza pisemnym, trzeba starać się o dokładność i precyzję.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 16:10 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
Jan Kraszewski napisał(a):
To jest wypowiedź zapisana przy pomocy zdań w języku polskim, znaczki pełnią tylko funkcję pomocniczą. Tok rozumowania jest dokładnie opisany, wiadomo, co oznaczają użyte znaczki i po co są użyte. Żeby ten dowód był kompletny, trzeba zrobić to, co jest napisane na końcu, ale też opisując to przy pomocy zdań w języku polskim.

Pamiętaj: dowód powinien dać się przeczytać! A Twój "dowód" wygląda jak kod dla wtajemniczonych - ściana znaczków.

Czyli powinno być coś w stylu, że: dla każdego x _{1} i x _{2} należących do zbioru (- \infty ;0) z nierówności x _{1}-x _{2}<0 wynika, że iloczyn 3\left( x _{1}-x _{2}  \right)\left( x _{1}+x _{2}  \right) jest większy od zera, więc ( x _{1}-x _{2}  )\right) i \left( x _{1}+x _{2}  \right) są mniejsze od zera. Tak to powinno wyglądać?

Jan Kraszewski napisał(a):
(poza tym to, że wyszło Ci coś na przykładzie jeszcze o niczym nie świadczy)

Jak to nie? Przecież skoro x _{1}<x _{2} to zawsze x _{1}-x _{2}<0

Jan Kraszewski napisał(a):
co wskazuje na to, iż uważasz, że ujemność OBU nawiasów wynika ze znaku argumentów.

Nie rozumiem, przyjęte jest, że argumenty należą (- \infty ;0), więc są ujemne, więc i różnica i suma będzie ujemna, więc oba nawiasy będą ujemne, czyli iloczyn tych nawiasów będzie dodatni. Co jest źle?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 17:25 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Jmoriarty napisał(a):
Czyli powinno być coś w stylu, że: dla każdego x _{1} i x _{2} należących do zbioru (- \infty ;0) z nierówności x _{1}-x _{2}<0 wynika, że iloczyn 3\left( x _{1}-x _{2}  \right)\left( x _{1}+x _{2}  \right) jest większy od zera, więc ( x _{1}-x _{2}  )\right) i \left( x _{1}+x _{2}  \right) są mniejsze od zera. Tak to powinno wyglądać?

Nie. Znów pomyliłeś kierunek implikacji, co oznacza, że w ogóle tego nie widzisz.

Jmoriarty napisał(a):
Jan Kraszewski napisał(a):
(poza tym to, że wyszło Ci coś na przykładzie jeszcze o niczym nie świadczy)
Jak to nie? Przecież skoro x _{1}<x _{2} to zawsze x _{1}-x _{2}<0

To była poboczna uwaga do tego: "np jeśli podstawie coś takiego: x_{1}=-2 i x_{2}=-1 to wyjdzie z tego liczba ujemna." - chodzi o to, że sprawdzenie czegoś na przykładzie nie gwarantuje, że coś zachodzi w ogólności.

Jmoriarty napisał(a):
Jan Kraszewski napisał(a):
co wskazuje na to, iż uważasz, że ujemność OBU nawiasów wynika ze znaku argumentów.
Nie rozumiem, przyjęte jest, że argumenty należą (- \infty ;0), więc są ujemne, więc i różnica i suma będzie ujemna, więc oba nawiasy będą ujemne, czyli iloczyn tych nawiasów będzie dodatni. Co jest źle?

Różnica dwóch liczb ujemnych może być dodatnia, więc ten argument jest niepoprawny.

Dokończenie tego dowodu powinno wyglądać tak:

"Z założenia x_1<x_2 wynika, że różnica x_1-x_2 jest liczbą ujemną. Ponadto, ponieważ liczby x_1,x_2 są ujemne, więc ich suma x_1+x_2 również jest liczbą ujemną. Wobec tego wyrażenie 3\left( x _{1}-x _{2} \right)\left( x _{1}+x _{2} \right) jest liczbą dodatnią jako iloczyn liczb ujemnych. Zatem f(x _{1} )-f(x _{2})>0, czyli f(x _{1} )>f(x _{2}), co należało dowieść."

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 wrz 2017, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 176
Lokalizacja: Płock
Jan Kraszewski napisał(a):
To była poboczna uwaga do tego: "np jeśli podstawie coś takiego: x_{1}=-2 i x_{2}=-1 to wyjdzie z tego liczba ujemna." - chodzi o to, że sprawdzenie czegoś na przykładzie nie gwarantuje, że coś zachodzi w ogólności.

Jan Kraszewski napisał(a):
Różnica dwóch liczb ujemnych może być dodatnia, więc ten argument jest niepoprawny.

Wiem o tym, ale mówię to na podstawie nie jakichś tam dwóch liczb, tylko konkretnych, gdzie jedna jest większa od drugiej, więc skoro wiem która jest większa to przecież mogę określić kiedy wyjdzie wynik ujemny a kiedy dodatni?

Ogólnie już wszystko zrozumiałem i wiem czemu mój dowód słowny jest źle
dziękuję baardzo za pomoc
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Monotoniczność funkcji  Martyn1  4
 Monotoniczność funkcji - zadanie 2  yarlan  2
 Monotonicznosc funkcji  garf99  1
 monotonicznośc funkcji - zadanie 2  Michał969  7
 Monotoniczność funkcji - zadanie 6  Tekuskus  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl