szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urny i kostka
PostNapisane: 10 paź 2017, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Wołomin
Mam problem z dwoma zadaniami. Proszę o pomoc.

1. Z urny, zawierającej 35 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 35, losujemy 9 razy po jednej kuli ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że żadna z kul się nie powtórzyła lub otrzymano co najmniej raz kulę z numerem 1.

2. Rzucono 35 razy prawidłową kostką o 9 ścianach, ponumerowanych liczbami od 1 do 9. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, ze otrzymano co najmniej jedną jedynkę, co najmniej jedną dwójkę i co najmniej jedną trójkę.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urny i kostka
PostNapisane: 10 paź 2017, o 20:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12445
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
2. Zdarzenie przeciwne oznaczałoby, że w 35 rzutach nie wypadła żadna jedynka, żadna dwójka ani żadna trójka. W pojedynczym rzucie prawdopodobieństwo niewypadnięcia żadnej z powyższych wynosi \frac{6}{9}=\frac 2 3, więc prawdopodobieństwo, że będzie tak w 35rzutach wyniesie \left(\frac 2 3\right)^{35}, a więc odpowiedź do zadania to
1-\left(\frac 2 3\right)^{35}.
Urn nie lubię, kojarzą mi się z kremacją zwłok.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Urny i kostka
PostNapisane: 11 paź 2017, o 13:54 
Użytkownik

Posty: 3159
a)

Doświadczenie losowe polega na dziewięciokrotnym losowaniu ze zwracaniem kuli z urny zawierającej 35 kul ponumerowanych numerami od 1 do 35.

Jest to doświadczenie złożone, składające się z dziewięciu etapów:

E_{1}\times E_{2}\times, ...,\times E_{9}.

E_{i} - etap o numerze i,  \ \ i =1, 2, ...,9:

\left( \Omega_{i}, 2^{\Omega_{i}},   P_{i}  \right)

gdzie:

\Omega_{i} =  \left\{  \omega =f: \left\langle 1 \right\rangle \rightarrow  \left\{ 1,2,...,35 \right\}   \right\}

|\Omega_{i}| = W_{35}^{1} = 35^1 =35.

2^{\Omega_{i}} - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \Omega_{i}, łącznie ze zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym) \emptyset i zdarzeniem pewnym \Omega_{i}.

P_{i} = \frac{1}{|\Omega_{i}|} = \frac{1}{35}.


Model doświadczenia złożonego:

\left( \Omega, 2^{\Omega}, P  \right)

gdzie:

\Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times ...\times \Omega_{9},

\Omega =  \left\{ \omega= g:  \left\langle 1,2,...,9  \right\rangle \rightarrow  \left\{  1, 2,...,35 \right\}  \right\}

|\Omega| = W_{35}^{9} = 35^9.

2^{\Omega} = 2^{\sum_{i=1}^{9}\Omega_{i}},

P = \prod_{i=1}^{n}P_{i}.


Zdarzenia:

A - "żadna z kul nie powtórzy się"

A =  \left\{ \omega = g: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle\rightarrow  \left\{ 1,2,..., 35 \right\} ,  \ \ g \left( 1 \right) \neq g \left( 2 \right) \neq ...\neq g \left( 9 \right)   \right\} .

|A| = V_{35}^{9} = \frac{35!}{ \left( 35- 9 \right) !}= \frac{35!}{26!}= 2,562204\cdot 10^{13} .

P \left( A \right)  = \frac{|A|}{|\Omega|}

P \left( A \right)  = \frac{2,562204\cdot 10^{13}}{35^9} = 0,3250883.

Program R

Kod:
1
2
3
4
5
6
> factorial(35)/factorial(26)
[1]2.56220404e+13
> PA = 2.562204e+13/35^9
> PA
[1] 0.3250883


B - zdarzenie "otrzymano co najmniej raz kulę z numerem 1."

B' - zdarzenie " ani razu nie otrzymano kuli z numerem 1".

B' =  \left\{ \omega= h: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle\rightarrow  \left\{ 2,3,...,35 \right\}  \right\} .

|B'| = W_{34}^{9} = 34^{9}

P \left( B' \right)  = \frac{|B'|}{|\Omega|} = \frac{34^{9}}{35^{9}}=\left  \left( \frac{34}{35}\right)^9 =0.7703673.

Program R

Kod:
1
2
3
4
>PB1= (34/35)^9
>PB1
[1] 0.7703673


Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

P \left( B' \right)  = 1 - P \left( B \right)

P \left( B \right)  = 1 - P \left( B' \right)  = 1 - 0,7703673= 0.22963.


C -zdarzenie " żadna z kul się nie powtórzyła lub otrzymano co najmniej raz kulę z numerem 1".

P \left( C \right) = P \left( A \cup B \right)  = P \left( A \right)  + P \left( B \right) .

P \left( C \right)  = 0,325083 + 0,22963 = 0.55471

Interpretacja otrzymanego wyniku.

W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy spodziewać się, że w ponad 55\% ogólnej liczby wyników, żadna z wylosowanych kul nie powtórzy się lub otrzymamy co najmniej raz kulę z numerem 1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Losujemy kule z urny  Wojteks  1
 kostka do gry - zadanie 25  alik21  5
 Kostka do gry - zadanie 8  andrzejskurcz  0
 5 rzutów kostką  acmilan  3
 rzut kostką do gry 5 razy  celia11  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl