szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 2023
Przychylając się Pańskiej prośbie, zamieszczam krótką informację na temat kwadratur Newtona –Cotesa i kwadratur Gaussa.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza, otrzymujemy wartość dokładną całki:

I = \int_{0}^{3} x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 \left |_{0}^{3} = \frac{1}{4} \cdot \left( 3^4 -3^0\right ) = \frac{1}{4}\cdot 81 = 20,25.

Mając dokładną wartość całki, chcemy tę wartość potwierdzać metodami przybliżonymi w postaci kwadratur (zadanie według mnie sztuczne, aczkolwiek mające na celu poznanie podstawowych metod numerycznego całkowania i dokładności tych metod).

Kwadratury Newtona-Cotesa

Kwadratury Newtona-Cotesa są to kwadratury oparte na węzłach wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a p_{n}.

\int_{a}^{b} f(x)dx = \sum_{k=0}^{n} w_{k}\cdot  f(a + k\cdot h),

gdzie:

h = \frac{b - a}{n}, \ \ w_{k} = \int_{a}^{b} L_{k}(x)dx  , \ \ L_{k}(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^{n} \frac{x -x_{i}}{x_{k} -x{i}}.

Dla n=1 i x_{0} = a, \ \ x_{1} = b, otrzymujemy wielomian interpolacyjny Lagrange'a pierwszego stopnia

p_{1}(x) = L_{0}(x)\cdot  f(a) + L_{1}(x)\cdot  f(b) =  \frac{x-b}{a-b} f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b) = \frac{1}{b-a}[ (b-x)f(a)+(x-a)f(b)].

Całkując p_{1}(x) w granicach od a do b, otrzymujemy kwadraturę Newtona-Cotesa rzędu pierwszego:

T_{1}(a,b, f)) =  \int_{a}^{b}\frac{1}{b-a} [(b-x)f(a)+ (x - a)f(b)]dx = \frac{1}{b-a} \left [-\frac{(b-x)^2}{2}f(a) + \frac{(x-a)^2}{2}f(b) \right |_{a}^{b} =  \frac{1}{b-a} \left [\frac{(b-a)^2}{2} f(b) + \frac{(b-a)^2}{2} f(a) \right] = \frac{b-a}{2}  \left [ f(a) + f(b) \right ].

Jest to wzór (kwadratura) trapezu.

Podstawiając a = 0, \ \ b =3, \ \ f(0) = 0^3 =0, \ \  f(3) = 3^3 = 27,

otrzymamy:

T(0, 3, x^3) = \frac{3 - 0}{2}\cdot (0 + 27) = \frac{81}{2} = 40,50.

Jak widzimy ta kwadratura nie nadaje się do aproksymacji wartości całki I, bo błąd względny przybliżenia wynosi:

\frac{| 20,25 - 40,5|}{20,25} \cdot 100\% = 100\%.

Można zwiększyć dokładność obliczenia tej całki - stosując złożoną kwadraturę trapezów, którą wyprowadzamy podobnie, uwzględniając wielomian interpolacyjny Lagrange'a stopnia n.

\int_{a}^{b} f(x) dx = h \cdot \left[ \frac{1}{2}f(a) +f(x_{1}) + ...+ f(x_{n-1})+ \frac{1}{2}f(x_{n}) \right] .

Błąd tej kwadratury wynosi:

\epsilon ( h) =- \frac{(b-a)\cdot h^2}{12}\cdot f^{''}(\xi), \ \  \xi \in (a, b).


W naszym przypadku na przykład dla n =10 węzłów

i programu Maple 6

Kod:
1
2
3
4
5
6
7
8
> with(student);

> trapezoid( x^3, x =0 . . 3, 10);

>evalf(\%);

 > 20,4525


Błąd tego przybliżenia wynosi -0,20250.


Kwadratura prostokątów

Kwadratura prostokątów należy do najprostszych kwadratur Gaussa-Legendre'a.

Kwadratury Gaussa są to kwadratury oparte na n+1 węzłach, które są pierwiastkami wielomianów ortogonalnych w przedziale [a, b]. z wagą w.

Nie wchodząc w teorię wielomianów ortogonalnych Legendre'a i teorię tych kwadratur - postać tej kwadratury:

\int_{a}^{b} f(x) dx = h \sum_{j=1}^{n} f \left ( a + \left (j - \frac{1}{2} \right)\right).

W naszym przypadku dla h = \frac{3 -0}{3} = 1. ( trzech węzłów)

\int_{0}^{3} x^3 dx = 1\cdot \sum_{j=1}^{3} \left ( 0 + \left(j -\frac{1}{2}\right)\cdot 1\right)^3

Do obliczenia wartości całki wykorzystamy prosty program napisany w Octave 4.2.1

Kod:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
  function  c = prostokw( f, a, b, N )

  h = (b-a)/N ;
   
  x = ( a + h/2 : h : b)

  y = f(x);

 c = h*sum(y);

 endfunction

prostokw(x^3, 0,3, 3)

>> answ = 19.125


Błąd względny przybliżenia wynosi 0,05.

Stąd wynika, że kwadratury Gaussa:

-mają dużo wyższą dokładność od kwadratur Newtona-Cotesa,

- są dokładne dla wielomianów stopnia 2n +1, podczas gdy kwadratury Newtona-Cotesa są dokładne tylko dla wielomianów stopnia n.

- możemy ich używać do numerycznego obliczania całek z osobliwościami, z którymi spotykamy się często na przykład w fizyce.


Są jeszcze kwadratury szybciej zbieżne od kwadratur Gaussa, na przykład kwadratury: Romberga, Radau, Lobato, z którymi warto zapoznać się, studiując przedmiot Metody Numeryczne.

Z kwadraturami Romberga , opartymi na ekstrapolacyjnym schemacie Neville'a - Richardsona i błędami wynikającymi z ich stosowania może się Pan zapoznać między innymi w pracy, którą miałem przyjemność napisać z Profesorem Andrzejem Kiełbasińskim na Uniwersytecie Warszawskim w roku 1985.

Andrzej Kiełbasiński, Janusz Chojnacki. Błędy zaokrągleń w algorytmie Romberga. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 1985.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 16:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17721
Lokalizacja: Cieszyn
janusz47, na czyje pytanie odpowiadasz?

Udostępniam prezentację wykładu, jaki wygłosiłem w tym roku na seminarium w Katowicach. Pierwsza część dotyczy kwadratur inerpolacyjnych pod względem teoretycznym, więc też może być pomocna. Część druga dotyczy już moich badań naukowych nad kwadraturami. Zapraszam do lektury.

https://www.dropbox.com/s/ks9tnuas6v8qp ... a.pdf?dl=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 16:21 
Użytkownik

Posty: 2023
Odpowiadam na prywatną prośbę jednego z uczestników forum.

Miło mi poznać Pańską prezentację. Szkoda, że tak późno poznajemy na forum nasze wspólne zainteresowania.

Serdecznie pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 16:34 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17721
Lokalizacja: Cieszyn
Bo z reguły człowiek nie chwali się za bardzo tym co robi. Moja habilitacja polegała na wymyśleniu teorii funkcji podpierających funkcje wypukłe wyższych rzędów i zastosowaniu jej do szacowania błędów kwadratur przy założeniach regularnościowych na funkcję podcałkową słabszych niż te klasycznie przyjmowane.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie o całkowaniu szeregów  squixy  2
 Pochodna w całkowaniu  marcinNT5  4
 Stosując twierdzenie o całkowaniu przez części obliczyć:  mentos14  4
 Tw o całkowaniu. Obliczanie sumy.  laser15  6
 twierdzenie o różniczkowaniu i całkowaniu  junior15  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl