szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 17
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n jedna z liczb 7^n-1 i 7^n+1 jest podzielna przez 3.

Wiem, że można to łatwo udowodnić na podstawie zauważenia, że z trzech kolejnych liczb naturalnych 7^n-1, 7^n, 7^n+1 liczba 7^n nigdy nie dzieli się przez 3, więc musi to być któraś z dwóch pozostałych liczb, o których mowa w tezie.

Jednak zaciekawiło mnie dlaczego nie wychodzi mi to innym sposobem i domyślam się, że brakuje tu jakiś warunków, w których odnalezieniu potrzebuję pomocy:

Załóżmy, że 7^n-1 nie jest podzielne przez 3, wtedy:
7^n-1 = 3k+1 lub 7^n-1 = 3k+2
Następnie analogicznie dla drugiej liczby...
Dla 3k+1 teza jest prawdziwa, gdyż wtedy 7^n+1=3k+3 czyli jest podzielne, ale już dla 3k+2 mam 7^n+1 = 3k+4 czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 21:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10614
Lokalizacja: Wrocław
Od razu widać, że nie może być 7^n-1=3k+2 dla k całkowitego, bo wtedy 3 dzieli 7^n, co jest nonsensem.
Jak już, to można wykazać, że 3|7^n-1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 13275
Lokalizacja: Bydgoszcz
A 7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+\dots+ 1)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 17
Premislav napisał(a):
Od razu widać, że nie może być 7^n-1=3k+2 dla k całkowitego, bo wtedy 3 dzieli 7^n, co jest nonsensem.
Jak już, to można wykazać, że 3|7^n-1.

Faktycznie, nie pomyślałam o tym, dziękuję Ci bardzo za spostrzeżenie.

W takim razie czy orientuje się ktoś czy na maturze dostałabym maksymalną ilość punktów za rozpisanie warunków w postaci 3k itd., ale w przypadkach takich jakie zauważył Premislav podopisywałabym, że nie muszę ich rozpatrzeć ze względu na sprzeczność z 7^n czy też przyrównywanie tych wyrażeń do 3k jest zbyt "niebezpieczne"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 22:27 
Użytkownik

Posty: 13275
Lokalizacja: Bydgoszcz
XYZmat napisał(a):


Dla 3k+1 teza jest prawdziwa, gdyż wtedy 7^n+1=3k+3 czyli jest podzielne, ale już dla 3k+2 mam 7^n-1 = 3k+4 czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź


Skąd Ci się wzięło 3k+4?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2017, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 17
a4karo napisał(a):
XYZmat napisał(a):


Dla 3k+1 teza jest prawdziwa, gdyż wtedy 7^n+1=3k+3 czyli jest podzielne, ale już dla 3k+2 mam 7^n-1 = 3k+4 czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź


Skąd Ci się wzięło 3k+4?

Liczba 7^n+1 jest o 2 większa niż 7^n-1 stąd jeśli 7^n-1=3k+2 to 7^n+1=(3k+2)+2=3k+4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2017, o 05:09 
Użytkownik

Posty: 13275
Lokalizacja: Bydgoszcz
No tak. Zastosowałes ten sam schemat, co w poprzednim przypadku. Ale gdybyś dodał jeden zamiast dwóch....
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl