szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
Proszę o pomoc w zadaniu z analizy zespolonej, konkretnie w znalezieniu promienia zbieżności szeregu:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}

Zastanawiam się, jak przekształcić(lub co podstawić) żeby miało to ładną postać szeregu potęgowego. Niestety nie mam pomysłu jak to ruszyć. Chciałbym prosić o jakąś wskazówkę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 15:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Mówienie tutaj o promieniu zbieżności może być niefortunne (ale nie musi, nie doliczyłem tego).
Wskazówka:
\frac{1}{(z+n)^2} = \sum_{m=1}^{ \infty } \frac{m}{n^{m+1}}(-1)^mz^{m-1}

-- 16 paź 2017, o 16:23 --

Chociaż można też zrobić coś takiego: gdy |z|<1, to
\left|  \frac{1}{(z+n)^2} \right| = \frac{1}{|z+n|^2}\le \frac{1}{(n-|z|)^2}
dla każdego n \in \NN^+
i analogicznie ustalmy dowolne M>0. Wówczas dla liczb zespolonych spełniających |z|<M \wedge z \notin \ZZ\setminus \ZZ^+ możemy rozbić:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}= \sum_{n=1}^{\lfloor M \rfloor} \frac{1}{(z+n)^2}+ \sum_{n>\lfloor M \rfloor}^{} \frac{1}{(z+n)^2}, gdzie pierwsze to suma skończenie wielu dobrze określonych składników a moduł tego ogona możemy oszacować (dość grubo chyba) z nierówności
\frac{1}{|z+n|^2}  \le  \frac{1}{(n-|z|)^2} < \frac{1}{(n-M)^2}
przez |\text{coś tam zespolonego}|+ \sum_{n>\lfloor M\rfloor}^{} \frac{1}{(n-M)^2}
Wniosek: ten szereg jest zbieżny dla dowolnych z \in \CC niebędących liczbami całkowitymi ujemnymi (dla takowych nie jest nawet dobrze określony).

-- 16 paź 2017, o 16:24 --

Oczywiście, \text{ coś tam zespolonego} zależy od z.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całka zespolona - zadanie 54  leszczu450  1
 Całka zespolona dodatnio i ujemnie określona  ms7  1
 Całka krzywoliniowa zespolona - zadanie 2  Bajcepz  5
 Calka zespolona po brzegu figury  tomasik56  1
 Promień zbieżności szeregów zespolonych  motylek2001  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl