szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 16:08 
Użytkownik

Posty: 108
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja f określona wzorem

[\log_{3}{x}]^2 jest malejąca w zbiorze (0, 1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 17:04 
Użytkownik

Posty: 2344
Jaka jest definicja funkcji malejącej f na przedziale P?

Sprawdź, czy funkcja f(x) = \log_{3}(x) jest malejąca na przedziale (0, 1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 13545
Lokalizacja: Bydgoszcz
janusz47 napisał(a):

Sprawdź, czy funkcja f(x) = \log_{3}(x) jest malejąca na przedziale (0, 1).

A po co każesz to sprawdzać jak to nieprawda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 2344
Czy tylko prawdę się sprawdza?

Czy od sprawdzenia monotoniczności funkcji f(x) = \log_{3}(x), a potem funkcji
g(x) = f^2(x) (żeby przekonać się jaki wpływ na monotoniczność ma podniesienie do drugiej potęgi) - głowa zaboli od przepracowania się ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 13545
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wsk. Zbadaj znak liczby \log_3^2 y-\log_3^2 x dla 0<x<y<1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 20:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Podkarpacie
janusz47
Jak użytkownik a4karo zwraca uwagę że coś jest nie tak, to raczej rzeczywiście coś jest nie tak :)

A co do zadanka to niech x_1>x_2  \wedge x_1,x_2 \in (0,1)

Badam różnicę:
f(x_1)-f(x_2)=\log ^{2}_3x_1-\log ^{2}_3x_2=(\log _3x_1+\log _3x_2)(\log _3x_1-\log _3x_2)= \\ \log _3x_1x_2  \cdot  \log _3 \frac{x_1}{x_2}

Z zał x_1,x_2 \in (0,1)  \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \in (0,1)  \Rightarrow \log _3x_1x_2<0
Analogicznie x_1>x_2  \Rightarrow \frac{x_1}{x_2}>1  \Rightarrow \log _3 \frac{x_1}{x_2}>0

Z tego wniosek że f(x_1)-f(x_2)<0, co przy wcześniejszym założeniu że x_1>x_2 oznacza że funkcja w tym przedziale jest malejąca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 2344
f(x) =  \log_{3}(x).

Niech a , b \in (0,1) i a<b wtedy z tego że funkcja logarytmiczna przy podstawie p=3 >1 jest funkcją rosnącą wynika, że

\log_{3}(a) < \log_{3}(b)

czyli

\log_{3}(a) - \log_{3}(b) < 0. (1)

Funkcja f(x) =\log_{3}(x) jest funkcją rosnącą.

Rozpatrujemy teraz funkcję:

g(x) = f^2(x) = \log^2_{3}(x).

Uwzględniając różnicę, otrzymujemy:

g(a) - g(b) = [\log^2_{3}(a) - \log^2_{3}(b)] = [\log_{3}(a) - \log_{3}(b)]\cdot [\log_{3}(a) +\log_{3}(b) ]  > 0

(-)\cdot (-) = (+)

Na podstawie nierówności (1) i z tego, że suma wartości funkcji

\log_{3}(a)+\log_{3}(b)< 0, dla argumentów a, b \in (0,1).

Funkcja g jest więc funkcją malejącą.

Rafsafcie myślę, że teraz rozumiesz do czego było potrzebne wspomnienie o monotoniczności funkcji f(x) = \log_{3}(x).

A ponadto jestem pewien, że Pan a4karo - nie potrzebuje adwokatów-obrońców, bo świetnie sobie na forum radzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2017, o 23:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 159
Lokalizacja: Podkarpacie
Szanowny januszu47, nie mam pojęcia po co było to robić, w gruncie rzeczy dowiodłeś że z tego że funkcja logartymiczna o podstawie p=3>1 jest rosnąca wynika że funkcja logarytmiczna o podstawie p=3 jest funkcją rosnącą, co nie jest w moich oczach spektakularnym odkryciem.

Podpisuję się pod tym obiema rękami, ale myślę że nie jest to zabieg konieczny, wybacz też tą celową zaczepkę z poprzedniego postu jak i z obecnego, ale nie mogłem się powstrzymać, liczę na celną ripostę :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2017, o 07:32 
Użytkownik

Posty: 2344
Rafsafcie

niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji f(x)=\log_{3}(x), o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2017, o 07:58 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
janusz47 napisał(a):
niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji f(x)=\log_{3}(x), o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.

No cóż, kwestia, czy było to potrzebne, jest subiektywna. Rozwiązanie Rafsafa jest nieco krótsze i bardziej pomysłowe od Twojego, nie wymaga też korzystania z monotoniczności funkcji f(x)=\log_{3}(x) - korzystamy tu z innej wiedzy o tej funkcji.

Natomiast Twoje rozwiązanie jest bardziej standardowe i jako takie można uznać je za bardziej naturalne, choć to też ocena subiektywna.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2017, o 08:32 
Użytkownik

Posty: 2344
No cóż, to jest Pana opinia z którą się zupełnie nie zgadzam, bo dowodzi ona niedojrzałości matematycznej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2017, o 10:33 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
I tym merytorycznym argumentem zakończmy tę dyskusję - problem w temacie został przynajmniej dwukrotnie rozwiązany.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl