szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2017, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 290
Lokalizacja: Polska
Mam takie zadanie:

\sum_{n=0}^\infty \frac{(z+1)^n}{2^n}

w którym należy znaleźć promień zbieżności i zbadać zbieżność na brzegu koła.


O ile ze znalezieniem promienia nie mam problemu i jest to R=2(szereg jest zbieżny wewnątrz koła o promieniu 2 i środku -1), to za zbadanie zbieżności na brzegu koła kompletnie nie wiem jak się zabrać. Chciałbym zapytać, jak postępuje się z tego typu zadaniami?

Czy podstawienie w=z+1, które da w efekcie zbieżność(dla w) wewnątrz koła o promieniu 2 i środku 0, będzie dobrym pomysłem?
Wówczas łatwo byłoby zebrać ,,do kupy" wszystkie liczby o module równym 2 w postaci trygonometrycznej, co sprowadziłoby się do sprawdzenia, dla jakich \alpha zbieżny jest szereg:

\sum_{n=0}^\infty \cos(\alpha n) + i\sin(\alpha n)
Ma to sens? Czy ten szereg w ogóle jest zbieżny dla jakiegoś \alpha?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2017, o 16:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Tak, podstawienie w=z+1 to jest dobry pomysł.
Szereg
\sum_{n=0}^\infty \left(\cos(\alpha n) + i\sin(\alpha n)\right)
jest rozbieżny dla każdego \alpha \in \RR, gdyż
|\cos(\alpha n) + i\sin(\alpha n)|=1, więc warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony. A jak ktoś by kręcił nosem na takie uzasadnienie, to zawsze można odgrzebać zwarte wzory na
\sum_{n=0}^N \cos(\alpha n), \ \sum_{n=0}^N\sin(\alpha n), tutaj pokazałem, jak je wyprowadzić:
422175.htm

-- 17 paź 2017, o 17:35 --

PS sorry, jednak nie te, ale idea jest podobna, rozważasz sumę częściową ciągu geometrycznego
1+e^{ia}+e^{2ia}+\ldots+e^{Nia}, liczysz część rzeczywistą i urojoną.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność szeregu na osi urojonej  Studentka1992  1
 zbieżność szeregów zespolonych.  Karolina93  15
 Całka zespolona krzywoliniowa po brzegu trójkąta  Robertolog  1
 Suma szeregu - zadanie 221  bebak  5
 Zbieżność ciągu - zadanie 86  Pike  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl