szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2017, o 13:25 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Przepraszam, jeżeli to nie ten dział, ale inne jeszcze bardziej wydają mi się niepasujące.

Mam obliczyć funkcję odwrotną do funkcji f(x)= 2^{x} - 2^{-x}.
Próbowałem na różne sposoby, również złożeniem, ale i tak utknąłem na tym, z nie potrafię obliczyć odwrotności funkcji g(x)=x- \frac{1}{x}.
Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2017, o 14:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17956
Lokalizacja: Cieszyn
Klasyczne zadanie na początek roku akademickiego. Zapisujemy y=2^x-\frac{1}{2^x}. Chcemy wyznaczyć stąd x jako funkcję y. W tym celu mnożymy obie strony przez 2^x. Wstawiając nową zmienną 2^x=t>0 dochodzimy do równania kwadratowego zmiennej dodatniej t z parametrem y. Po drodze pojawią się dwie nierówności, które trzeba będzie wykazać: dla każdego y zachodzą nierówności y+\sqrt{y^2+4}>0 oraz y-\sqrt{y^2+4}<0. Pomocna jest tu oczywista nierówność \sqrt{y^2+4}>\sqrt{y^2}=|y|.

Jeśli da jednoznacznie wyznaczyć x w zależności od y, funkcja odwrotna istnieje i można pominąć wykazywanie różnowartościowości funkcji danej. Ale to robi się metodą podobną (początek) do mojej wskazówki. Więc możesz to wykonać jako pożyteczne ćwiczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 paź 2017, o 14:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10804
Lokalizacja: Wrocław
Jak się zna funkcję area sinus hiperboliczny (odwrotną do sinusa hiperbolicznego) to wynik można prawie że od razu napisać, ponieważ 2^x-2^{-x}=2\sinh (x\ln 2). Jednak wyznaczenie funkcji odwrotnej do sinusa hiperbolicznego realizuje się właśnie tak, jak opisał powyżej szw1710, zatem zapewne zamysł osoby dającej to zadanie był taki, by to przeprowadzić.
Co więcej, zrobił to już Chromosom tutaj:
344532.htm#p5140251
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje, dziedzina  qkiz  3
 Funkcje w trzecim wymiarze.  Anonymous  3
 Ciekawie wygladajace funkcje  kris  1
 Funkcje uwikłane / podac przykład odpowiedniej funkcji :)  matmamatma  0
 Zbiór zadań - INNE FUNKCJE  Arek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl