szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2017, o 12:57 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Mam pytanie ogólne do definicji supremum.
Defnicja:
M= \sup {A}\\
1)\ \forall x \in A \  x \le M\\
2)\ \forall \epsilon > 0 \  \exists \  x _{o} \in A \    M-\epsilon<x_{o}

Jak znajdować to x_{o}? Czy jest jakaś ogólna zasada? Nie mogę tego nigdzie znaleźć. Wiem, że czasem wykorzystuje się zasadę Archimedesa i to, że zbiór jest gęsty ale mając dowieść np. supremum dla x\in(- \sqrt{2}, \sqrt{2}  ) nie wiem co mam zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2017, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 2342
Definicja ta ma charakter formalny i jej symbolika jest zbyt trudna dla przeciętnego studenta nie mówiąc o przeciętnym uczniu klasy I liceum, gdzie niektórzy nauczyciele w ten sposób wprowadzają pojęcie kresu.

Postaram się jednakże zinterpretować podany warunek (2) za pomocą pojęcia odległości, uzyskując w ten sposób definicję zarówno poprawną jak i przystępną.

Warunek (2) orzeka, że istnieje zawsze element nazywany tu x_{0} ) leżący na prawo od M-\epsilon przy dowolnie dobranym \epsilon (proszę wykonać rysunek).

Inaczej mówiąc, dla dowolnego \epsilon >0. istnieje element położony w stosunku do M bliżej niż \epsilon:

\bigwedge_{\epsilon>0}\bigvee_{x_{0}\in A} d(x_{0}, M)< \epsilon (1)

lub

\bigwedge_{\epsilon>0}\bigvee_{x_{0}\in A}|x_{0} -  M| < \epsilon (2)


Zatem, żadna liczba mniejsza niż M nie może być kresem górnym zbioru (spełniać (2)).

Nie możemy " przesunąć M w lewo " na przykład w miejsce M-\epsilon ponieważ wówczas
"przeskoczylibyśmy jakiś element zbioru".

Warunek (1) lub (2) jest symbolicznym zapisem sformułowania " najmniejsza z liczb".

Przykład

Niech Z = \{z:  z = \sqrt{n+1}- \sqrt{n}, n \in N \}.

Dla każdego n \in N mamy:

\sqrt{n+1} -\sqrt{n}= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq \frac{1}{1 +\sqrt{2}}= M.

\bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1 (3)

lub

\bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z} \left| \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 1\right|< \epsilon (4)

Nierówności (3) lub (4) są prawdziwe w zbiorze liczb naturalnych, więc

sup Z = \frac{1}{\sqrt{2}+1}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 paź 2017, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nierówność (4) w sposób oczywisty nie jest prawdziwa, a nierówność (3) nijak się ma do tego, co trzeba pokazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 08:25 
Użytkownik

Posty: 2342
Niech \epsilon >0

Nierówność

\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

Wystarczy przyjąć x_{0}= n = 1 a nierówność ta będzie spełniona.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 08:40 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Prawdziwość nierówności w jakimś zbiorze oznacza, że dla każdego elementu tego zbioru jest ona spełniona. W tym przypadku tak nie jest.

Sądzę, że robisz wiele szkody takimi postami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 08:54 
Użytkownik

Posty: 2342
Proszę zapoznać się z definicją kresów zbioru .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 11:13 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
janusz47 napisał(a):
Proszę zapoznać się z definicją kresów zbioru .

To nie ma nic wspólnego z definicją kresu zbioru. Piszesz rzeczy nieprawdziwe i w ten sposób wprowadzasz w błąd ludzi, którzy szukają tu pomocy

oto te nieprawdy:

Cytuj:
Niech \epsilon >0

Nierówność

\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.


Nie jest.

Cytuj:
\bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z} \left| \frac{1}{\sqrt{2}+1} - 1\right|< \epsilon


To ewidentna nieprawda, pomijając już fakt, że kwantyfikator egzystencjalny w tym zapisie ma mało sensu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 2342
Proszę zapoznać się na przykład z artykułem w czasopiśmie dla nauczycieli MATEMATYKA Nr 1. 1979 Pani Profesor Ireny Gucewicz- Sawickiej " Pojęcie kresu dolnego i górnego zbioru str.32.

Proszę ponadto zapoznać się ze skryptem Roberta Hajłasza. Metodyka rozwiązywania zadań z Analizy Matematycznej. Wyd. Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa 1985.

Ja nie odnoszę się do Pańskich postów, które albo krytykują albo gratulują i nic do merytorycznej dyskusji nie wnoszą.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 paź 2017, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 10767
Lokalizacja: Wrocław
Czasopisma dla nauczycieli to śmieszne źródło w dyskusji o matematyce; skoro rzecz tyczy się analizy, to dlaczego nie odwołać się do Fichtenholza, Rudina, Maurina (nie czytałem), Lei, Kuratowskiego, Rudnickiego, czy coś w tym stylu. Chyba w dyskusji o fizyce nie powołujesz się na poradnik inżyniera. Zresztą to nie jest odpowiedź na zarzuty niepoprawności, tylko wybicie przeciwnika w dyskusji z rytmu przez odesłanie do autorytetów.
To może konkretniej:
\bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1
Pomijając całkowity bezsens zapisu
\bigvee_{x_{0}=1 \in Z}, to wartość logiczna zdania
\bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{x_0 \in Z}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1 nie zależy od żadnego x_0, więc cały ten kwantyfikator jest przy takim zapisie zbędny.
Doszliśmy do tego, że powyższe zdanie, jeśli pominiemy to, że źle zapisane, jest równoważne takiemu:
\bigwedge_{\epsilon >0}\left (\frac{1}{\sqrt{2}+1}- \epsilon\right) < 1
ale to po pierwsze nie jest żadna sensacja, gdyż \frac{1}{\sqrt{2}+1}<1, a po drugie w żaden sposób nie wiąże się z przytoczonym przykładem.
Poprawny i sensowny zapis w kontekście tego przykładu mógłby być taki (żeby było analogicznie, użyję nielubianej przeze mnie notacji Kuratowskiego):
\bigwedge_{\epsilon >0}\bigvee_{n_{0} \in \NN^+}\left (\frac{1}{\sqrt{n_0+1}+\sqrt{n_0}} >  \frac{1}{1+\sqrt{2}}-\epsilon\right)
i możemy wskazać palcem takie n_0 \in \NN^+ dobre dla dowolnego \epsilon>0, a mianowicie n_0=1.
To daje nam wniosek, że nie może istnieć mniejsze ograniczenie górne zbioru Z (wg niezbyt szczęśliwej notacji z postów powyżej) niż
\frac{1}{1+\sqrt{2}}.

Natomiast to:
janusz47 napisał(a):
Niech \epsilon >0

Nierówność

\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych.

jest po prostu nie do obrony: weźmy dowolny \epsilon mniejszy niż \frac{1}{\sqrt{2}+1}, np. \epsilon=\frac 1 {14882137}. Dla n=10000 mamy wówczas
\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \epsilon > \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Zapomniałeś o pewnych podstawach lub za mało uważnie pisałeś i teraz próbujesz zatuszować pomyłki, odsyłając do literatury. Tak bym to skomentował:
https://www.youtube.com/watch?v=GisG7HRk-3k
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 2342
Zajrzyj do tych publikacji i nie krytykuj profesorów, którzy publikują swoje prace w czasopismach dla nauczycieli i tych którzy piszą skrypty i podręczniki, bo wtedy na pewno nie było Cię jeszcze na świecie.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 23 paź 2017, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 10767
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
bo wtedy na pewno nie było Cię jeszcze na świecie.

Miałem być uprzejmy, ale nie będę, jak widzę takie "argumenty". Weź, dobry człowieku, puknij się w czółko (a nuż coś się poprawi), zamiast stosować personalne przytyki, a następnie przeczytaj sobie może książkę Schopenhauera o erystyce i popatrz, jak to się ma do Twoich postów.
Zauważ, że nigdy nie krytykowałem profesorów publikujących gdziekolwiek, skrytykowałem podanie źródła popularnonaukowego (artykułu w czasopiśmie dla nauczycieli) jako argumentu w dyskusji.
Poza tym nie odniosłeś się w żaden sposób do tego, co napisałem, pozostaliśmy w tematyce tego, co kto czytał (polecam tego Schopenhauera, naprawdę). Każdemu zdarza się pomylić, natomiast cechą człowieka niemądrego jest nieumiejętność przyznania się do błędu.
To tyle z mojej strony.

EDIT: gdyby były wątpliwości (można sprawdzić historię edycji), poprawiłem tylko pisownię wyrazu "czasopiśmie".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 18:35 
Użytkownik

Posty: 2342
Młody człowieku, trochę kultury, skromności i przyzwoitości, zdaje Ci się że jesteś wyrocznią, obrażasz!
Przeczytaj sobie artykuł Pani Profesor Gucewicz-Sawickiej i dowód w książce Profesora Roberta Hajłasza na stronie 23, wtedy podyskutujemy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2017, o 21:43 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2831
Lokalizacja: Warszawa
A mógłbyś janusz47 powiedzieć co konkretnie w argumentacji Premislav'a jest nie tak? Niestety nie mam (pewnie nie tylko ja) dostępu do czasopism dla nauczycieli matematyki z 1979 roku. A nie wygląda to na rzecz, która wymaga argumentu 'autorytetu'.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Złożenie funkcji sprawdzenie jak rozumieć tą część definicji  jumper4  17
 Udowodnij korzystając z definicji że funkcja jest rosnąca  Kamil887  11
 Sprawdz ze funkcja jest rosnąca z definicji  GrazynkaUTP  14
 Monotonicznośc z definicji  bl0ndynek  6
 Nierówność z supremum  Drzewo18  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl