szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2017, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
Studiując topologię algebraiczną Munkresa (pdfa można znaleźć w google) natknąłem się na problemy z pewnymi dowodami własności n-sympleksów, mianowicie:

1. Udowodnij, że dla danego n-sympleksu \sigma generowanego przez a_0, a_1, \ldots, a_n zbiór Int (\sigma) jest wypukły i otwarty w płaszczyźnie P generowanej przez wierzchołki \sigma, zaś jego domknięciem jest \sigma. Udowodnij też, że Int (\sigma) jest sumą mnogościową wszystkich otwartych odcinków łączących a_0 z punktami zbioru Int (s), gdzie s jest ścianą \sigma leżącą naprzeciw a_0. (głównie chodzi o otwartość i domknięcie)

2.Udowodnij, że dla danego n-sympleksu \sigma generowanego przez punkty a_0, a_1, \ldots, a_n i dla ściany s generowanej przez wierzchołki a_0, a_1, \ldots, a_p, gdzie p < n, oraz ściany t generowanej przez wierzchołki a_{p+1}, a_{p+2}, \ldots, a_n:
i. \sigma jest sumą mnogościową odcinków łączących punkty ściany s z punktami ściany t i każde dwa takie odcinki przecinają się w co najwyżej jednym punkcie;
ii. Int (\sigma) jest sumą mnogościową otwartych odcinków łączących punkty Int (s) z punktami Int (t). (chodzi o przecinanie w jednym punkcie + inkluzje w stronę \sigma zawarte w sumie odcinków- i. oraz ii. robi się tym samym schematem)

3.Niech zbiór U \subset \mathbb{R}^n będzie ograniczony i otwarty. U nazywamy gwiaździście wypukłym względem punktu 0, jeżeli dla każdego punktu x \in U odcinek łączący 0 z punktem x jest zawarty w U. Udowodnij, że jeżeli U jest zbiorem gwiaździście wypukłym względem 0, to promień wychodzący z 0 może przeciąć Bd(U) w więcej niż jednym punkcie oraz że \overline{U} (domknięcie) nie musi być homeomorficzne z B^n (kula n-jednostkowa). (nie mam żadnego pomysłu jak to zrobić)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2017, o 16:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2344
Lokalizacja: Radom
Jak definiujesz n-sympleks i co to jest Bd(U)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2017, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
Jeżeli zbiór punktów \{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\subset \mathbb{R}^n jest geometrycznie niezależny, to n-sympleksem generowany przez ten zbiór punktów nazywamy zbiór \sigma=\{x \in \mathbb{R}^n : x = \sum_{i=0}^n t_ia_i, t_0,\ldots,t_n \in \mathbb{R},  \sum_{i=0}^n t_i =1, t_0 \geq 0, t_1 \geq 0, \ldots t_n \geq 0\}.
Sympleks generowany przez pewien podzbiór \{a_0,a_1,\ldots,a_n\} nazywamy ścianą sympleksu \sigma. Ścianą właściwą nazywamy ścianę \sigma różną od \sigma. Sumę mnogościową wszystkich ścian właściwych nazywamy brzegiem sympleksu \sigma i oznaczamy Bd( \sigma).
Definicje zgodne z książką Munkresa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2017, o 22:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2344
Lokalizacja: Radom
A co to jest Bd(U) w kontekscie zbioru gwiazdzistego?

Na Twoim miejscu bym udowodnił wymienione przez Ciebie podpunkty dla standardowych n-sympleksow - standardowy n-sympleks to podzbior \RR^{n+1} złożony z tych punktów (t_0,..,t_n) \in \RR, że t_i>=0  \wedge  \sum_{}^{} t_i =1. Później pomyślisz o tym jak uogólnić to na dowolny sympleks. (zresztą wszystko co jest w tej książce da się zrobić tylko przy użyciu standardowych sympleksów). Np. to, że standarowy n-sympleks jest domknięty w \RR^{n+1}:
robisz przekształcenie \varphi: \RR^{n+1}  \rightarrow \RR
\varphi(t_0,..,t_n) = t_0+...+t_n no i wtedy Twój sympleks to przecięcie \varphi^{-1}(1) z ćwiartką układu współrzędnych (a oba te zbiory są domknięte).


Edit : oczywiście standardowy n-sympleks jest generowany przez punkty e_i, gdzie e_i ma na i-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera/.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2017, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Katowice
Najprawdopodobniej traktowane jest jako Bd(U)=\overline{U}\setminus U.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2017, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2344
Lokalizacja: Radom
Co to podpunktu 3. to ja bym wziął najpierw zbiór (w \RR^2) X =  \bigcup_{n \in \NN}^{} I_n gdzie I_n to odcinek łączący \left( 0,0 \right) z \left(  \frac{1}{n} ,1 \right) i troszkę ,,pogrubił" te odcinki tak, żeby z tego się zrobił zbiór otwarty( w szczególności musisz dodać otoczenie zera).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Lokalnie spójna przestrzeń-własności  lukabesoin  1
 Własności podzbioru przestrzeni metrycznej  eee_SSS  1
 własności zbioru 1  agusiaczarna22  1
 Topologia produktowa, własności odwzorowań ciągłych.  mmalinka92  3
 Własności przestrzeni metrycznych  sandra791  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl