szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2017, o 11:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1732
Lokalizacja: Warszawa
Może któryś student wydziału elektrycznego zechce sobie poczytać:
On the Definition of Apparent Power.

Apparent power and power factor in unbalanced and distorted systems. Applications in three phase load compensations.

A power resolution for nonsinusoidal and unbalanced Systems - Part I: Literature Overview and Motivation

Dr. Mahesh Kumar: NPTEL Course on Power Quality in Power Distribution Systems. Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Madras Chennai.

Apparent power and reactive power in three-phase networks.

Three- phase four-wire circuits interpretation by means of different power theories.

IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions.

Power Quality Measurement Under Non-Sinusoidal Condition.

The IEEE standard 1459: What and why?

Apparent power and reactive power in three-phase networks.

Power Quality Monitoring, Analysis and Enhancement. Edited by Ahmed Zobaa, Mario Mañana Canteli and Ramesh Bansal, ISBN 978-953-307-330-9, 378 pages, Publisher: InTech, Chapters published September 22, 2011 under CC BY-NC-SA 3.0 license

Power Theory: Power Currents, Active Currents, Nonactive Currents. PD Dr.-Ing. Volker Staudt, Ruhr-University of Bochum

Apparent Power: A Practical Approach to its Resolution. Alexander E. Emanuel, Worcester Polytechnic Institute, Worcester

Poniżej streszczenie najważniejszych informacji dot. omawianego tematu, które można wydobyć z materiałów wyżej wspomnianych.


Wybór napięć i prądów służących do opisu odbiornika trójfazowego.

Zakładamy, że odbiornik trójfazowy ma cztery zaciski: A, B, C, N.

1) Wybór prądów.
Jeśli chodzi o wybór prądów, to jest tylko jedna możliwość. Wartości chwilowe prądów przewodowych (ang. line currents) oznaczymy sybolami i_a, i_b, i_c, i_n, a wartości skuteczne (ang. RMS values) tych prądów oznaczymy symbolami odpowiednio: I_a, I_b, I_c, I_n. Strzałkowanie prądów wybieramy takie, żeby strzałki były skierowane w kierunku odbiornika (również w przypadku przewodu neutralnego dołączonego do zacisku N odbiornika). Oczywiście: i_a+i_b+i_c+i_n=0

2) Wybór napięć.

a) sposób pierwszy
Napięcia odbiornika mierzymy względem jednego z zacisków odbiornika:
- względem zacisku neutralnego: u_{an}, u_{bn}, u_{cn}; odpowiednio wartości skuteczne: U_{an}, U_{bn}, U_{cn}; mówimy wtedy o wartościach fazowych napięć;
- albo podając napięcia międzyfazowe: u_{ab}, u_{bc}, u_{ca}; odpowiednio wartości skuteczne: U_{ab}, U_{bc}, U_{ca}

b) sposób drugi
Napięcia odbiornika mierzymy względem punktu zerowego wirtualnej gwiazdy (ang. virtual star point), złożonej z czterech takich samych rezystancji (kolejne ramiona gwiazdy są podłączone do zacisków kolejno A, B, C, N odbiornika trójfazowego). Wartości chwilowe tych napięć: u_{a*}, u_{b*}, u_{c*}, u_{n*}; odpowiednio wartości skuteczne: U_{a*}, U_{b*}, U_{c*}, U_{n*}. Z PPK wynika, że: u_{a*}+u_{b*}+u_{c*}+u_{n*}=0

Można również mierzyć napięcia odbiornika wzglęm punktu zerowego wirtualnej gwiazdy, której ramiona mają różne rezystancje. Wartości chwilowe tych napięć: u_{a0}, u_{b0}, u_{c0}, u_{n0}; odpowiednio wartości skuteczne: U_{a0}, U_{b0}, U_{c0}, U_{n0}

Przy tak określonym opisie odbiornika trójfazowego można podać kolejne definicje mocy pozornych.


Moc pozorna odbiornika trójfazowego (ang. apparent power)


1) Arytmetyczna moc pozorna

Jest to najpowszechniej stosowana definicja (chyba wszystkie analizatory sieci stosują właśnie taką definicję):

S_{A}=U_{a}I_{a}+U_{b}I_{b}+U_{c}I_{c}



2) Wzór Buchholza

S_{B}=\sqrt{U_{an}^{2}+U_{bn}^{2}+U_{cn}^{2}} \cdot \sqrt{I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}}



3) Wzór wg. DIN Norm 40110-2 (w oparciu o teorię FBD - Fryze, Buchholz, Depenbrock)

S_{\Sigma}=U_{\Sigma} \cdot I_{\Sigma}

gdzie:
U_{\Sigma}=\sqrt{U_{a*}^{2}+U_{b*}^{2}+U_{c*}^{2}+U_{n*}^{2}}; \qquad I_{\Sigma}=\sqrt{I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}+I_{n}^{2}}


Dla układów trójprzewodowych (ang. three-wire system): I_{n}=0, \ U_{n*}=0:

U_{\Sigma}=\sqrt{U_{a*}^{2}+U_{b*}^{2}+U_{c*}^{2}}, \qquad I_{\Sigma}=\sqrt{I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}}


Na podstawie powyższego można pokazać, że:

U_{\Sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{\left( U_{an}^{2}+U_{bn}^{2}+U_{cn}^{2}\right) + \left( U_{ab}^{2}+U_{bc}^{2}+U_{ca}^{2}\right) }=\sqrt{3} \cdot \sqrt{(U^{+})^{2}+(U^{-})^{2}+\frac{1}{4}(U^{0})^{2}}


I_{\Sigma}=\sqrt{I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}+I_{n}^{2}}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{(I^{+})^{2}+(I^{-})^{2}+4 \cdot (I^{0})^{2}}


gdzie:
U^{0}, U^{+}, U^{-} - wartości skuteczne składowych symetrycznych napięć fazowych u_{an}, u_{bn}, u_{cn};
I^{0}, I^{+}, I^{-} - wartości skuteczne składowych symetrycznych prądów przewodowych i_{a}, i_{b}, i_{c};


4) Definicja mocy pozornej wg. Mayordomo, Usaola

S_{MU}=U_{MU} \cdot I_{MU}


gdzie:
U_{MU}=\sqrt{\frac{U_{a0}^{2}}{\rho_{a}}+\frac{U_{b0}^{2}}{\rho_{b}}+\frac{U_{c0}^{2}}{\rho_{c}}+\frac{U_{n0}^{2}}{\rho_{n}}}


I_{MU}=\sqrt{\rho_{a}I_{a}^{2}+\rho_{b}I_{b}^{2}+\rho_{c}I_{c}^{2}+\rho_{n}I_{n}^{2}}


Gdzie:
- napięcia U_{a0}, U_{b0}, U_{c0}, U_{n0} są mierzone na zaciskach A, B, C, N odbiornika trójfazowego względem punktu zerowego wirtualnej gwiazdy, której ramiona mają rezystancje: \rho_{a} \cdot r, \rho_{b} \cdot r, \rho_{c} \cdot r, \rho_{n} \cdot r;
- r jest pewną rezystancją, a \rho_{a}, \rho_{b}, \rho_{c}, \rho_{n}, są bezwymiarowymi współczynnikami;
- rezystancje \rho_{a} \cdot r, \rho_{b} \cdot r, \rho_{c} \cdot r, \rho_{n} \cdot r mają w tym wypadku sens rezystancji wewnętrznych sieci zasilającej kolejno w fazach A, B, C oraz w przewodzie neutralnym N.

u_{m0}=u_{m}-v_{ref}


v_{ref}=\frac{\frac{u_{a}}{\rho_{a}}+\frac{u_{b}}{\rho_{b}}+\frac{u_{c}}{\rho_{c}}+\frac{u_{n}}{\rho_{n}} } {\frac{1}{\rho_{a}}+\frac{1}{\rho_{b}}+\frac{1}{\rho_{c}}+\frac{1}{\rho_{n}} }


U_{m0}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}\left( u_{m0}\right) ^{2}dt}


m=a, b, c, n


gdzie: u_{m}, m=a, b, c, n - napięcia mierzone na zaciskach A, B, C, N względem wspólnego punktu. Można je mierzyć względem punktu 0 wirtualnej niesymetrycznej gwiazdy, której ramiona mają rezystancje odpowiednio: \rho_{a} \cdot r, \rho_{b} \cdot r, \rho_{c} \cdot r, \rho_{n} \cdot r, wtedy:

\frac{u_{a}}{\rho_{a} \cdot r}+\frac{u_{b}}{\rho_{b} \cdot r}+\frac{u_{c}}{\rho_{c} \cdot r}+\frac{u_{n}}{\rho_{n} \cdot r}=0, czyli v_{ref}=0


To powyższe równianie oczywiście wynika z PPK dla rozważanej niesymetrycznej gwiazdy (prądy strzałkowane w kierunku punktu zerowego).

Warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
- definicja S_{\Sigma} jest tylko szczególnym przypadkiem definicji S_{MU} dla \rho_{a}=\rho_{b}=\rho_{c}=\rho_{n}=1
- definicja S_{B} jest tylko szczególnym przypadkiem definicji S_{MU} dla \rho_{a}=\rho_{b}=\rho_{c}=1, \ \rho_{n}=0



5) Definicja mocy pozornej wg. IEEE Std 1459-2010

O ile dwie poprzednie definicje posługują się wielkościami kolektywnymi (terminologia zaczerpnięta z teorii FBD - Fryze-Buchholz-Depenbrock): U_{\Sigma}, I_{\Sigma}, U_{MU}, I_{MU}, to norma amerykańska IEEE Std 1459-2010 posługuje się terminami napięcia i prądu efektywnego U_{e}, I_{e}. Wtedy moc pozorna jest obliczana tak jak w symetrycznym zrównoważonym obwodzie trójfazowym:

S_{e}=3U_{e}I_{e}


Prąd efektywny liczony jest bardzo podobnie jak w poprzednich definicjach mocy pozornej. Wychodzi się z równania:

r\left( I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}+\rho I_{n}^{2}\right) =3rI_{e}^{2}


Stąd:

I_{e}=\sqrt{\frac{1}{3}\left( I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}+\rho I_{n}^{2}\right) }=\sqrt{(I^{+})^{2}+(I^{-})^{2}+\left( 1+3\rho\right) (I^{0})^{2} }


- r - rezystancja linii zasilającej w fazach A, B, C;
- \rho  \cdot  r - rezystancja przewodu neutralnego;
- \rho - dodatni bezwymiarowy współczynnik; w praktyce \rho=0,2 \div 4; jeśli wartość \rho nie jest znana, wtedy norma zaleca stosowanie \rho=1;
- I^{+}, I^{-}, I^{0} - wartości skuteczne składowych symetrycznych prądów przewodowych odbiornika (ang. positive, negative, zero sequence components)
Powyższy warunek zakłada równość strat mocy w obwodzie zasilającym analizowany odbiornik ze stratami mocy w wirtualnym zrówoważonym obwodzie.

Obliczanie napięcia efektywnego opiera się na idei pewnego sprytnie "zmontowanego" odbiornika równoważnego, składającego się z:
- trzech takich samych elementów R_{\triangle} połączonych w trójkąt;
- trzech takich samych elementów R_{Y} połączonych w gwiazdę.

Obie "składowe" (gwiazda i trójkąt) odbiornika wirtualnego są podłączone do naszej sieci zasilającej (włącznie z punktem zerowym gwiazdy złożonej z trzech elementów R_{Y}). Zmierzone napięcia (wartości skuteczne) na naszym odbiorniku wirtualnym:
- napięcia fazowe: U_{an}, U_{bn}, U_{cn};
- napięcia międzyfazowe: U_{ab},  U_{bc}, U_{ca}.

Teraz chcemy określić napięcie fazowe U_{e} wirtualnej symetrycznej sieci, która będzie powodowała wydzielanie się takiej samej mocy na naszym wirtualnym odbiorniku co w poprzednim przypadku. Równość mocy w naszym wirtualnym odbiorniku przy zasilaniu z sieci niesymetrycznej i symetrycznej pozwala napisać równanie:

\frac{U_{an}^{2}+U_{bn}^{2}+U_{cn}^{2}}{R_{Y}}+\frac{U_{ab}^{2}+U_{bc}^{2}+U_{ca}^{2}}{R_{\triangle}}=3\frac{U_{e}^{2}}{R_{Y}}+3\frac{\left( \sqrt{3}U_{e}\right)^{2} }{R_{\triangle}}


Jeśli przyjąć oznaczenie:

\xi=\frac{P_{\triangle}}{P_{Y}}=3\frac{\left( \sqrt{3}U_{e}\right)^{2} }{R_{\triangle}}\frac{R_{Y}}{3U_{e}^{2}}=\frac{3R_{Y}}{R_{\triangle}}


to można napisać:

U_{e}=\sqrt{\frac{3\left( U_{an}^{2}+U_{bn}^{2}+U_{cn}^{2}\right)+\xi\left( U_{ab}^{2}+U_{bc}^{2}+U_{ca}^{2}\right)  }{9\left( 1+\xi\right) }}=\sqrt{(U^{+})^{2}+(U^{-})^{2}+\frac{(U^{0})^{2}}{1+\xi}}


U^{+}, U^{-}, U^{0} - wartości skuteczne składowych symetrycznych napięć fazowych.

Norma zaleca stosowanie wartości \xi=1, wtedy:

U_{e}=\sqrt{\frac{3\left( U_{an}^{2}+U_{bn}^{2}+U_{cn}^{2}\right)+\left( U_{ab}^{2}+U_{bc}^{2}+U_{ca}^{2}\right)  }{18 }}=\sqrt{(U^{+})^{2}+(U^{-})^{2}+\frac{(U^{0})^{2}}{2}}


Dla układów trójprzewodowych norma zaleca stosowanie wzorów:

U_{e}=\sqrt{\frac{ U_{ab}^{2}+U_{bc}^{2}+U_{ca}^{2}}{9}}=\sqrt{(U^{+})^{2}+(U^{-})^{2}}


I_{e}=\sqrt{\frac{1}{3}\left( I_{a}^{2}+I_{b}^{2}+I_{c}^{2}\right)  }=\sqrt{(I^{+})^{2}+(I^{-})^{2} }



Opis odbiornika jednofazowego i trójfazowego w oparciu o normę IEEE Std 1459-2010


Przy opisie odbiornika jednofazowego wspomniana norma wykorzystuje fakt, że prąd i napięcie o wartościach skutecznych I, U dowolnego dwójnika można przedstawić w postaci sumy ortogonalnych składowych: składowej podstawowej o wartościach skutecznych U_{1}, I_{1} i składowej odkształcenia o wartościach skutecznych U_{H}, I_{H}. Zatem można napisać, że:

I^{2}={I_{1}}^{2}+{I_{H}}^{2}


U^{2}={U_{1}}^{2}+{U_{H}}^{2}


Moc pozorna takiego dwójnika:

S=UI


Stąd, na podstawie wyżej przedstawionej dekompozycji prądów i napięć:

S^{2}=U^{2}I^{2}=\left( U_{1}I_{1}\right)^{2}+\left( U_{1}I_{H}\right)^{2}+\left( U_{H}I_{1}\right)^{2}+\left( U_{H}I_{H}\right)^{2}


Kolejne iloczyny powstałe przy wymnożeniu przez siebie obu wyrażeń zostały odpowiednio nazwane:
- moc pozorna podstawowa (ang. fundamental apparent power) wyrażanej w VA:

S_{1}=U_{1}I_{1}


- moc odkształcenia prądu (ang. current distortion power) wyrażanej w var:

D_{I}=U_{1}I_{H}


- moc odkształcenia napięcia (ang. voltage distortion power) wyrażanej w var:

D_{U}=U_{H}I_{1}


- moc pozorna składowych odkształcenia (ang. harmonic apparent power) wyrażanej w VA:

S_{H}=U_{H}I_{H}


Zatem można zapisać:

S=\sqrt{{S_{1}}^{2}+{D_{I}}^{2}+{D_{U}}^{2}+{S_{H}}^{2}}


Samą wielkość S_{N}:

S_{N}=\sqrt{{S_{e}}^{2}-{S_{1}}^{2}}=\sqrt{{D_{I}}^{2}+{D_{U}}^{2}+{S_{H}}^{2}}


norma określa jako moc pozorną odkształcenia (ang. nonfundamental apparent power) i wyraża ją w VA.

Norma także moc czynną odbiornika dekomponuje na moc czynną podstawową P_{1} (ang. fundamental active power) oraz na moc czynną składowej odkształcenia P_{H} (ang. harmonic active power, nonfundamental active power):

P=P_{1}+P_{H}


gdzie:
P_{1}=U_{1}I_{1}\cos \varphi_{1}


Również moc pozorna podstawowa S_{1} jest rozkładana geometrycznie na moc czynną podstawową P_{1} oraz na moc bierną składowej podstawowej (ang. fundamental reactive power):

{S_{1}}^{2}={P_{1}}^{2}+{Q_{1}}^{2}


Zatem kompletne równanie mocy będzie miało postać:

S=\sqrt{{P_{1}}^{2}+{Q_{1}}^{2}+{D_{I}}^{2}+{D_{U}}^{2}+{S_{H}}^{2}}


Naturalnie bierze się to stąd, że składowa podstawowa zawsze może być rozłożona na składowe ortogonalne: składową czynną (współfazową z podstawową harmoniczną napięcia) oraz składową bierną (przesuniętą w fazie o 90^{\circ} względem podstawowej harmonicznej napięcia).

Norma wprowadza dwie ważna wielkości: współczynniki odkształcenia prądu i napięcia (ang. total harmonic distortion):

THD_{U}=\frac{U_{H}}{U_{1}}


THD_{I}=\frac{I_{H}}{I_{1}}


Norma wprowadza dwa współczynniki mocy (ang. power factor):

PF_{1}=\frac{P_{1}}{S_{1}}=\cos\varphi_{1}


PF=\frac{P}{S}


Pierwszy współczynnik PF_{1} (fundamental power factor) w literaturze bywa nazywany również współczynnikiem mocy przesunięcia DPF (ang. displacement power factor albo shift power factor). Warto mieć świadomość występowania dwóch różnych współczynników mocy.

Na podstawie przytoczonych definicji można pokazać, że:

PF=\frac{\left( 1+\frac{P_{H}}{P_{1}}\right)PF_{1} }{\sqrt{1+{THD_{I}}^{2}+{THD_{U}}^{2}+\left( THD_{I} \cdot THD_{U}\right)^{2} }}


W większości praktycznych przypadków odkształcenie napięcia jest niewielkie, a odkształcenie prądu duże, i wtedy można skorzystać z uproszczonej zależności:

PF=\frac{PF_{1}}{\sqrt{1+{THD_{I}}^{2}}}


Jeśli wykorzystać pojęcia prądu i napięcia efektywnego w układach trójfazowych, to powyżej przedstawione definicje dla odbiornika jednofazowego mogą być uogólnione dla odbiornika trójfazowego. Zatem:

{I_{e}}^{2}={I_{e1}}^{2}+{I_{eH}}^{2}


{U_{e}}^{2}={U_{e1}}^{2}+{U_{eH}}^{2}


{S_{e}}^{2}=\left( 3U_{e}I_{e}\right)^{2}=\left( 3U_{e1}I_{e1}\right)^{2}+\left( 3U_{e1}I_{eH}\right)^{2}+\left(3 U_{eH}I_{e1}\right)^{2}+\left(3 U_{eH}I_{eH}\right)^{2}


S_{e1}=3U_{e1}I_{e1}, \qquad D_{eI}=3U_{e1}I_{eH}, \qquad D_{eU}=3U_{eH}I_{e1}, \qquad S_{eH}=3U_{eH}I_{eH}


S_{e1} - ang. fundamental effective apparent power
D_{eI} - ang. current effective distortion power
D_{eU} - ang. voltage effective distortion power
S_{eH} - ang. harmonic effective apparent power

{S_{e}}^{2}= {S_{e1}}^{2}+ {D_{eI}}^{2}+{D_{eU}}^{2}+{S_{eH}}^{2}


S_{eN} - ang. nonfundamental effective apparent power:

S_{eN}=\sqrt{{S_{e}}^{2}-{S_{e1}}^{2}}


S_{U1} - ang. fundamental harmonic unbalanced apparent power:

S_{U1}=\sqrt{{S_{e1}}^{2}-\left( S_{1}^{+}\right)^{2}  }


S_{1}^{+} - ang. fundamental harmonic positive apparent power:

S_{1}^{+}=3U_{1}^{+}I_{1}^{+}


Jako, że składową symetryczną zgodną podstawowej harmonicznej prądu można rozłożyć na składową czynną i bierną, to można napisać:

S_{1}^{+}=\sqrt{\left( P_{1}^{+}\right) ^{2}+\left( Q_{1}^{+}\right) ^{2}}

gdzie:

P_{1}^{+}=3U_{1}^{+}I_{1}^{+}\cos \varphi_{1}^{+}, \qquad Q_{1}^{+}=3U_{1}^{+}I_{1}^{+}\sin \varphi_{1}^{+}


Ostatecznie równanie mocy odbiornika trójfazowego możemy napisać w postaci:

S_{e}=\sqrt{\left( P_{1}^{+}\right)^{2}+\left( Q_{1}^{+}\right)^{2}+{S_{U1}}^{2}+{D_{eI}}^{2}+{D_{eU}}^{2}+{S_{eH}}^{2} }


THD_{eU}=\frac{U_{eH}}{U_{e1}}, \qquad THD_{eI}=\frac{I_{eH}}{I_{e1}}


PF_{e1}=\frac{P_{1}}{S_{e1}}, \qquad PF_{e}=\frac{P}{S_{e}}


PF_{e} - ang. effective power factor
PF_{e1} - ang. fundamental effective power factor

PF_{e}=\frac{\left( 1+\frac{P_{H}}{P_{1}}\right)PF_{e1} }{\sqrt{1+{THD_{eI}}^{2}+{THD_{eU}}^{2}+\left( THD_{eI} \cdot THD_{eU}\right)^{2} }}


PF_{1}^{+} - ang. fundamental positive sequence power factor:

PF_{1}^{+}=\frac{P_{1}^{+}}{S_{1}^{+}}


Porównanie przytoczonych definicji:

Apparent Power Definitions: A Comparison Study. Murat Erhan Balci and Alexander Eigeles Emanuel. International Review of Electrical Engineering (I.R.E.E.), Vol. 6, n. x

Skoro mowa o niezrównoważeniu obwodu trójfazowego, to kilka przydatnych zależności/definicji służących do bezpośredniej oceny tego zjawiska, przy wykorzystaniu składowych symetrycznych.

Załóżmy zatem składowe symetryczne k-tej harmonicznej napięć fazowych oraz k-te harmoniczne napięć międzyfazowych:

\begin{bmatrix} \underline{U}_{(k)}^{0}\\\underline{U}_{(k)}^{+}\\\underline{U}_{(k)}^{-}\end{bmatrix}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \underline{U}_{an}^{(k)}\\\underline{U}_{bn}^{(k)}\\\underline{U}_{cn}^{(k)}\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} \underline{U}_{an}^{(k)}\\\underline{U}_{bn}^{(k)}\\\underline{U}_{cn}^{(k)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \underline{U}_{(k)}^{0}\\\underline{U}_{(k)}^{+}\\\underline{U}_{(k)}^{-}\end{bmatrix}


\begin{bmatrix} \underline{U}_{ab}^{(k)}\\\underline{U}_{bc}^{(k)}\\\underline{U}_{ca}^{(k)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \underline{U}_{an}^{(k)}\\\underline{U}_{bn}^{(k)}\\\underline{U}_{cn}^{(k)}\end{bmatrix}, \qquad \begin{cases} \underline{U}_{ab}^{(k)}=\underline{U}_{an}^{(k)}-\underline{U}_{bn}^{(k)}\\\underline{U}_{bc}^{(k)}=\underline{U}_{bn}^{(k)}-\underline{U}_{cn}^{(k)} \\ \underline{U}_{ca}^{(k)}=\underline{U}_{cn}^{(k)}-\underline{U}_{an}^{(k)}\end{cases}



a=e^{j120^{\circ}}=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}; \qquad a^2=e^{-j120^{\circ}}=-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}


Teraz wykorzystamy kilka zależności:

\begin{aligned} \text{Re}(\underline{z}_{1}\cdot\underline{z}_{2}^{*})=\text{Re}(\underline{z}_{1}^{*}\cdot\underline{z}_{2}) 

\underline{z}\cdot\underline{z}^{*}=\left | \underline{z} \right |^{2} 

\underline{z}+\underline{z}^{*}=2 \text{Re} \left (\underline{z}  \right )

1+a+a^{2}=0 

a^{3}=a \cdot a^{2}=1

a^{4}=a
\end{aligned}


Liczymy kolejno:

\begin{aligned} \left( U_{an}^{(k)}\right) ^{2}=\underline{U}_{an}^{(k)}\cdot{\underline{U}_{an}^{(k)}}^{*} \\
\left( U_{bn}^{(k)}\right) ^{2}=\underline{U}_{bn}^{(k)}\cdot{\underline{U}_{bn}^{(k)}}^{*} \\
\left( U_{cn}^{(k)}\right) ^{2}=\underline{U}_{cn}^{(k)}\cdot{\underline{U}_{cn}^{(k)}}^{*}  \end{aligned}


Na podstawie wyżej przedstawionego można pokazać, że:

\left( U_{an}^{(k)}\right) ^{2}+\left( U_{bn}^{(k)}\right) ^{2}+\left( U_{cn}^{(k)}\right) ^{2}=3\left[ \left( U_{(k)}^{0}\right)^{2} + \left( U_{(k)}^{+}\right)^{2} + \left( U_{(k)}^{-}\right)^{2}\right]


Liczymy dalej:

\left (U_{ab}^{(k)}  \right )^{2}=\\=\left ( \underline{U}_{an}^{(k)} -\underline{U}_{bn}^{(k)}\right ) \cdot \left ( \underline{U}_{an}^{(k)} -\underline{U}_{bn}^{(k)}\right )^{*}=\\ =\left (U_{an}^{(k)}  \right )^{2}-\underline{U}_{an}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{bn}^{(k)}  \right )^{*}-\underline{U}_{bn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{an}^{(k)}  \right )^{*}+ \left( U_{bn}^{(k)}\right)^{2}


\left (U_{bc}^{(k)}  \right )^{2}=\\=\left ( \underline{U}_{bn}^{(k)} -\underline{U}_{cn}^{(k)}\right ) \cdot \left ( \underline{U}_{bn}^{(k)} -\underline{U}_{cn}^{(k)}\right )^{*}=\\ =\left (U_{bn}^{(k)}  \right )^{2}-\underline{U}_{bn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{cn}^{(k)}  \right )^{*}-\underline{U}_{cn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{bn}^{(k)}  \right )^{*}+ \left( U_{cn}^{(k)}\right)^{2}


\left (U_{ca}^{(k)}  \right )^{2}=\\=\left ( \underline{U}_{cn}^{(k)} -\underline{U}_{an}^{(k)}\right ) \cdot \left ( \underline{U}_{cn}^{(k)} -\underline{U}_{an}^{(k)}\right )^{*}=\\ =\left (U_{cn}^{(k)}  \right )^{2}-\underline{U}_{cn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{an}^{(k)}  \right )^{*}-\underline{U}_{an}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{cn}^{(k)}  \right )^{*}+ \left( U_{an}^{(k)}\right)^{2}


Po dodaniu stronami ostatnich trzech równań otrzymujemy:

\left (U_{ab}^{(k)}\right )^{2}+\left (U_{bc}^{(k)}\right )^{2}+\left( U_{ca}^{(k)} \right )^{2}=

=2\left( U_{an}^{(k)}\right) ^{2} + 2\left( U_{bn}^{(k)}\right) ^{2} + 2\left( U_{cn}^{(k)}\right) ^{2} - 2  \text{Re} \left ( \underline{U}_{an}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{bn}^{(k)} \right )^{*} +\underline{U}_{bn}^{(k)} \cdot \left ( \underline{U}_{cn}^{(k)} \right )^{*}+\underline{U}_{cn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{an}^{(k)} \right )^{*}\right )


Można pokazać, że:

\underline{U}_{an}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{bn}^{(k)} \right )^{*} +\underline{U}_{bn}^{(k)} \cdot \left ( \underline{U}_{cn}^{(k)} \right )^{*}+\underline{U}_{cn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{an}^{(k)} \right )^{*}=\\=3\left( U_{(k)}^{0}\right)^{2}+3a\left( U_{(k)}^{+}\right)^{2}+3a^{2}\left( U_{(k)}^{-}\right)^{2}


Zatem:

\text{Re} \left ( \underline{U}_{an}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{bn}^{(k)} \right )^{*} +\underline{U}_{bn}^{(k)} \cdot \left ( \underline{U}_{cn}^{(k)} \right )^{*}+\underline{U}_{cn}^{(k)} \cdot \left (\underline{U}_{an}^{(k)} \right )^{*}\right )=\\=3\left( U_{(k)}^{0}\right)^{2}-\frac{3}{2}\left( U_{(k)}^{+}\right)^{2}-\frac{3}{2}\left( U_{(k)}^{-}\right)^{2}


Zatem ostatecznie:

\left (U_{ab}^{(k)}  \right )^{2}+\left (U_{bc}^{(k)}  \right )^{2}+\left (U_{ca}^{(k)}  \right )^{2}=9\left (U_{(k)}^{+}  \right )^{2}+9\left (U_{(k)}^{-}  \right )^{2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Moc bierna, czynna i pozorna. Liczenie prądu w stanie ustalo  Raziel95  5
 Napiecie nad kondensatorem, liczenie mocy i energi  aga223  0
 Obliczanie mocy-Thevenin  Arowek  3
 Kompensacja mocy biernej  Damian7546  2
 [Układy cyfrowe] Schemat demultipleksera, na NAND  MichalProg  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl