szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2017, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 19
Witam,
Byłbym bardzo wdzięczny za wskazanie błędów w niżej przedstawionych przykładach i naprowadzenie mnie na poprawne rozwiązanie (o ile oczywiście błędy są..)

1.\ \lim_{ n\to \infty } n \left( \ln \left( n+3 \right) -\ln \left( n \right) \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( n \left( \ln \frac{n+3}{n} \right) = \lim_{ n\to \infty } \left( \ln \left( 1+ \frac{3}{n} \right) ^{n} = 3

2.\ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2}+n+4 }{ n^{2}-n+10 } \right) ^{ {n \choose 3} } = \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{ n^{2}-n+10+2n-6 }{ n^{2}-n+10 } \right) ^{ \frac{n!}{6 \left( n-3 \right) !}} =\\= \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{ n^{2}-n+10 }{2n-6} } \right) ^{ \frac{ n^{2}-n+10 }{2n-6} \cdot  \frac{2n-6}{ n^{2}-n+10 } \cdot  \frac{ n^{3}- 3n^{2}+2n }{6}}= e^{ \infty } = \infty

3.\ \lim_{ n\to \infty } \frac{3 n^{n} }{ \left( n+1 \right) ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } 3 \left( \frac{n}{n+1} \right) ^{n}= \lim_{n \to \infty }3 \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right) ^{n} =\\= \lim_{n \to \infty }3 \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right) ^{ \left( -n-1 \right)  \cdot  \frac{n}{-n-1} }= \frac{3}{e}

Poniżej zamieszczam jeszcze 2 przykłady, które nie bardzo wiem jak ruszyć i mam nadzieję, że ktoś naprowadzi mnie na rozwiązanie
1. \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }
Próbowałem podzielić całe wyrażenie przez pierwiastek z n, ale po dokonaniu tego wychodzi mi granica \frac{0}{0}, z którą nie bardzo wiem jak sobie poradzić..
2. \lim_{ n\to \infty } \sqrt[3]{27 n^{3}+1 } - \sqrt[3]{27n ^{3}-n }
Tutaj podobnie.. Próbowałem skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów, ale wychodzą z tego straszne "tasiemce", które nie bardzo potrafię uprościć. Niby wydaje się, że st. mianownika jest wyższy, więc granicą jest 0, ale ile w tym prawdy..

Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2017, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 22747
Lokalizacja: piaski
1(dolne) sprzężenie licznika i mianownika zrób.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 00:11 
Użytkownik

Posty: 19
Przyznam szczerze, że nie wiem czy dobrze to zrozumiałem.. Czy chodzi o policzenie wyrażenia \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} } \cdot \frac{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} } \cdot \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }

Jeżeli tak, to nawet pomijając fakt, że jest to doświadczenie raczej masochistyczne to i tak (chyba) nic z tego nie wychodzi. Mianownik będzie stopnia \frac{3}{2}, a licznik \frac{1}{2} przy czym po podzieleniu całego wyrażenia przez n podniesione do najwyższej potęgi mianownika otrzymamy wyrażenie typu \frac{0}{0 \cdot \infty }, ale oczywiście mogę się mylić..

Z kolei osobne mnożenie przez sprzężenie daje odpowiednio \infty \cdot 0 oraz \frac{1}{ \infty \cdot 0}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 00:19 
Użytkownik

Posty: 15372
Lokalizacja: Bydgoszcz
\frac{{\red \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}} }{{\green \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }} \cdot \frac{{\red  \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} }}{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} } \cdot \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{ {\green \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 00:22 
Użytkownik

Posty: 19
Już zdążyłem edytować. Pomyłka w przepisywaniu (a raczej kopiowaniu ułamków zapisanych w texie). Przepraszam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 00:32 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Dobry początek. Ten wzór. Sprząż tą resztą ze wzoru na różnicę sześcianu. Ale mianownika nie rozwijaj . Dzięki temu odkryjesz, że stopień licznika to 1, a mianownika 2 czyli rzeczywiście 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 22747
Lokalizacja: piaski
Kartezjusz napisał(a):
Dobry początek. Ten wzór. Sprząż tą resztą ze wzoru na różnicę sześcianu. Ale mianownika nie rozwijaj . Dzięki temu odkryjesz, że stopień licznika to 1, a mianownika 2 czyli rzeczywiście 0.

Do czego to ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 22:22 
Użytkownik

Posty: 19
Jeżeli się nie mylę to do drugiego przykładu dolnego. W każdym razie stopnie licznika i mianownika się zgadzają (chociaż nie mnożyłem przez sprzężenie).

Czy mógłbym jeszcze prosić o odniesienie się do 3 zamieszczonych przeze mnie przykładów? Będę wdzięczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2017, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 22747
Lokalizacja: piaski
1)3) ok.

2) Nie mam cierpliwości do przeliczania (wpisz w wolframa - może po rozpisaniu wykładnika będzie wygodniej).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice ciągów  Anonymous  3
 Granice ciągów - zadanie 2  Anonymous  1
 Granice ciągów - zadanie 3  Anonymous  3
 Granice ciagów  moczul  1
 granice ciągów - zadanie 4  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl