szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 6 lis 2017, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Proszę o pomoc w rozwiązaniu krok po kroku:

\lim_{n\to\infty}  \sqrt[n]{ 3^{n} + 2\cos n }
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 6 lis 2017, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 12648
Jak zapewne wiesz, dla dowolnego x \in \RR mamy
-1\le \cos x \le 1, zatem
3^n-2\le 3^n+2\cos n\le 3^n+2
czyli
\sqrt[n]{3^n-2}\le \sqrt[n]{3^n+2\cos n}\le \sqrt[n]{3^n+2}
teraz odnotujmy, że
\sqrt[n]{3^n+2}=\sqrt[n]{3^n}\sqrt[n]{\left( 1+\frac {2}{3^n}\right)} =3 \sqrt[n]{1+ \frac{2}{3^n} } \rightarrow 3
i analogicznie
\sqrt[n]{3^n-2}=\sqrt[n]{3^n}\sqrt[n]{\left( 1-\frac {2}{3^n}\right)} =3 \sqrt[n]{1- \frac{2}{3^n} } \rightarrow 3,
zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach jest
\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{ 3^{n} + 2\cos n }=3

Warto dodać, że skorzystaliśmy tu z jednego z twierdzeń o arytmetyce granic:
jeżeli (a_n) jest ciągiem o wyrazach dodatnich, \lim_{n \to  \infty } a_n=a, \  \lim_{n \to  \infty } b_n=b (granice właściwe!) i co najmniej jedna z liczb a,b jest różna od zera, to
\lim_{n \to  \infty } a_n^{b_n}=a^b
Bez tego trzeba się dalej babrać z szacowaniami, np. oszacować
3^{\frac{n-1}{n}}\le \sqrt[n]{3^n+2\cos n}\le 3^{\frac{n+1}{n}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl