szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2017, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Mam taki ciąg:
c_{1}=1,  c_{n+1}= \frac{1}{1+ c_{n} }
Według polecenia mam uzasadnić, że \lim_{n \to \infty }c _{n}= \frac{1}{2} \cdot ( \sqrt{5} -1), korzystając z twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Jestem w stanie udowodnić ograniczoność i znaleźć granicę, przy założeniu, że ciąg jest zbieżny, ale nie bardzo wiem, jak zabrać się za monotoniczność.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 8 lis 2017, o 22:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2803
Lokalizacja: Radom
Przez indukcję
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2017, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Polska
Tyle, że jak rozpisuję pierwsze wyrazy tego ciągu to nie zachowuje się on jak ciąg monotoniczny i generalnie nie wiem (czy/od którego wyrazu) można zastosować indukcję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lis 2017, o 23:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1471
Lokalizacja: hrubielowo
Bo ten ciąg monotoniczny nie jest. Ale może jego podciągi już są?
Wydaje mi się że pokazanie:
-podciąg po liczbach nieparzystych jest malejący i ograniczony z dołu przez \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}
-podciąg po liczbach parzystych jest rosnący i ograniczony z góry przez \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}
załatwi sprawę.

Bo na przykład

c_{2k+1}-c_{2k-1}= \frac{1}{1+ \frac{1}{1+c_{2k-1}} }-c_{2k-1}=- \frac{c^2_{2k-1}+c_{2k-1}-1}{2+c_{2k-1}}<0

Nierówność jest spełniona gdy tylko c_{2k+1}> \frac{ \sqrt{5} -1}{2}
Więc teraz pokazując to ograniczenie z dołu potwierdzisz podpunkt 1.
Analogicznie powinno pójść z 2.

-- 8 lis 2017, o 23:16 --

To będzie działać bo pokażesz że istnieją podciągi po l. parzystych i l. nieparzystych zbieżne (bo monotoniczne i ograniczone) a zbiegać będą do tej samej granicy więc i cały ciąg też będzie zbieżny do tej granicy. Warto dodać że te podciągi zawierają wszystkie wyrazy ciągu i dlatego to działa bo bez tego to by nie musiało być prawdą.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym  Karolina93  1
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl