szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 07:09 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{ n\to \infty  }  \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } =-1

nie umiem poradzić sobie po dojściu do \frac{n+1}{n ^{2}+1 }<e

Z określonym epsilon nie mam problemu, ale moja głowa się zacina jak na to patrzę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 07:33 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziel licznik I mianownik przez n a potem szacuj licznik z góry przez 2 a z dołu przez n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 09:58 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
\forall_{\epsilon>0} \exist_{n_0 \in \NN} \forall_{n \in \NN} \left|   \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } +1 < \epsilon\right|

\left|   \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } + \frac{ n^{2}+1 }{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|

\left|   \frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|
Wyrażenie jest większe od zera (mam nadzieję, że to oczywiste), więc legitnie sobie opuszczamy wartość bezwzględną.

\frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon

I rozumiem, że do tego momentu doszedłeś, o co nam właściwie chodzi?
Chodzi nam o to, żeby definicja była spełniona, czyli o pokazanie, że faktycznie istnieje takie n \in \NN, że jest to prawda. Czyli liczymy de facto nierówność. ;)

\frac{n +1}{n ^{2} -1 + 2 } < \epsilon

\frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon

EDIT:
Cytuj:
tak nie:
\frac{1}{n + 1} < \epsilon
\frac{1}{\epsilon} < n+1
n > \frac{1}{e} - 1

Więc jest luz.


Nie ma tak dobrze!

\frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon

\frac{1}{\frac{n^2 - 1}{n+1}+  \frac{2}{n+1} } < \epsilon

\frac{1}{\frac{n^2 + 1}{n+1} } < \epsilon

\frac{n+1}{n^2 + 1} } < \epsilon

\frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}

\frac{1}{n^5+2n^3+n} <  \frac{ \epsilon}{n}

\frac{1}{(n^2+1)^2} < \epsilon

(n^2+1)^2 >  \frac{1}{\epsilon}

n^2+1 >  \sqrt{ \frac{1}{\epsilon}}

n^2 > \sqrt{ \frac{1}{\epsilon}} -1

n > \sqrt{\sqrt{ \frac{1}{\epsilon}} -1}

I teraz powinno być luz. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 13:44 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozbitek napisał(a):

\frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon
\frac{1}{n + 1} < \epsilon


Więc jest luz.


To przejście to taki luzik?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 15:02 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Okej, jak widzę moja sprawność w matematyce mocno poszła w dół przez wakacje. Wielkie dzięki dla Was. Jeszcze pewnie będę pisał, ale to już o coś innego ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 15:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
\frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon\\
\frac{1}{(n -1) +2} < \epsilon

Jak by powiedział największy Polak w historii (serio, miał ponad 2 metry), „nie" (tzn. z Twojej pierwszej linijki wynika i druga, ale nie tego chcemy). Mamy przecież
\frac{n+1}{n^2+1} > \frac{1}{n+1} dla każdego n \in \NN.
Więc tak naprawdę to do uzasadnienia możliwe jest tylko to, ze
gdy \frac{n +1}{(n + 1) (n - 1) + 2} < \epsilon, to także
\frac{1}{n+1}<\epsilon, ale nie na odwrót!.
A tak naprawdę potrzebujesz wynikania w drugą stronę: należy pokazać, że jeśli n>\ldots, to wyrazy ciągu o takich indeksach n leżą odpowiednio blisko -1. Z twojej wypowiedzi można tylko wywnioskować, że jeśli
wyrazy leżą dość blisko -1, to… a w ogóle nie o to nam tutaj chodzi.

Takie mechaniczne przekształcanie nierówności, bez pamiętania o równoważności przekształceń, to prosta droga do oceny niedostatecznej (niestety często w szkole pokazuje się takie podejście).

-- 10 lis 2017, o 16:32 --

A, sorry, był tu jeszcze jedne post usera Rozbitek, ale został usunięty. No nic, można zauważyć, że w naturalnych dodatnich większych niż 1, a więc poczynając od 2, mamy n^2+1>n^2-1  \Leftrightarrow  \frac{1}{n-1} > \frac{n+1}{n^2+1}, więc n\ge 2 i jeśli n>\frac 1 \epsilon+1, to \frac{n+1}{n^2+1} <\epsilon
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2017, o 16:32 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
Tak jest, przepraszam, już poprawione.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 07:38 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Rozbitek, jak Ci wyszło 2 z 1?

Cytuj:
\frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}

\frac{1}{n^5+2n^3+n} <  \frac{ \epsilon}{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 17:49 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
\frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}

\frac{1}{n^5+2n^3+n} < \frac{ \epsilon}{n}

(n^2+1)(n^3+n) = n^5 + n^3 + n^3 + n = n^5 + 2n^3 + n

Nie bardzo rozumiem pytanie, ale z tym przejściem jest wszystko OK z tego co widzę. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Rozbitek napisał(a):
\frac{1}{n^2 + 1} \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}
No czy tu nie ma znaku między ułamkami np + \frac{1}{n^2 + 1}+ \frac{1}{n^3 + n} } < \frac{ \epsilon}{n}
W następnej linijce sprowadzanie do wspólnego mianownika tylko dlaczego mnożymy skoro wcześniej było dodawanie. Bardzo możliwe, że zapomniałem o jakiejś własności.
\frac{1}{n^5+2n^3+n} < \frac{ \epsilon}{n}

(n^2+1)(n^3+n) = n^5 + n^3 + n^3 + n = n^5 + 2n^3 + n

Nie bardzo rozumiem pytanie, ale z tym przejściem jest wszystko OK z tego co widzę. ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Proszę, ulitujcie się już nad tym bełkotem. To co napisał Rozbitek ma dość mało sensu.

-- 11 lis 2017, o 19:22 --

Zacznijmy po Rozbitkowemu:

mamy pokazać, że
Cytuj:
\forall_{\epsilon>0} \exist_{n_0 \in \NN} \forall_{n \in \NN} \left|   \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } +1 < \epsilon\right|

\left|   \frac{- n^{2}+n }{n ^{2}+1 } + \frac{ n^{2}+1 }{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|

\left|   \frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon\right|
Wyrażenie jest większe od zera (mam nadzieję, że to oczywiste), więc legitnie sobie opuszczamy wartość bezwzględną.

\frac{n +1}{n ^{2}+1 } < \epsilon


Mamy
\frac{n +1}{n ^{2}+1 }=\frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}\leq\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\leq \frac{2}{n}
Nierównośc \frac{2}{n}<\epsilon zachodzi dla n>\frac{2}{\epsilon}. Stąd wnioskujemy, że dla n_0=\left\lfloor\frac{2}{\epsilon}+1\right\rfloor zachodzi żądana nierówność.

I nie bój się w rozwiązaniu zadania używać słów w języku polskim. Ściany znaczków nic nie znaczą bez tych komentarzy.

I pamiętaj: w zadaniach tego typu wystarczy wyznaczenie jakiegoś n_0, wcale nie musi być ono najmniejsze z możliwych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Warszawa
Mamy
\frac{n +1}{n ^{2}+1 }=\frac{1+\frac{1}{n}}{n+\frac{1}{n}}\leq\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\leq \frac{2}{n}
Nierównośc \frac{2}{n}<\epsilon zachodzi dla n>\frac{2}{\epsilon}. Stąd wnioskujemy, że dla n_0=\left\lfloor\frac{2}{\epsilon}+1\right\rfloor zachodzi żądana nierówność.

I nie bój się w rozwiązaniu zadania używać słów w języku polskim. Ściany znaczków nic nie znaczą bez tych komentarzy.

I pamiętaj: w zadaniach tego typu wystarczy wyznaczenie jakiegoś n_0, wcale nie musi być ono najmniejsze z możliwych.[/quote]

I o to mi chodziło. Zawsze mogę tak szacować? To ogromnie życie upraszcza.
Ratuje Pan mi życie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Adam97 napisał(a):

I o to mi chodziło. Zawsze mogę tak szacować? To ogromnie życie upraszcza.
Ratuje Pan mi życie.


Najczęściej włąsnie o tego typu oszacowania chodzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 korzystając z definicji liczby e oblicz granicę ciągu - zadanie 2  perfectsnobody  1
 Korzystając z definicji uzasadnić granicę ciągu.  mdcbnmw2000  3
 Korzystając z definicji liczby e oblicz granice ciagu  ghostko  1
 Wykazać zbieżność ciągów.  matmatmm  2
 Granica z definicji - zadanie 11  Krolik98  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl