szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 22:33 
Użytkownik

Posty: 1669
Lokalizacja: Kraków
Niech d_k:\RR^2 \times \RR^2 \rightarrow \RR będzie określone następującą formułą gdzie:
0=(0,0), a d_e oznacza metrykę euklidesową w \RR^2.

d_k=\begin{cases} d_e(a,b) &\text{ jeśli } a,b,0 \text{ leżą na jednej prostej}\\
d_e(a,0)+d_e(b,0) &\text{ w przeciwnym razie}\end{cases}

Pokazać, że zbiór U jest otwarty w przestrzeni (\RR^2,d_k) wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie U z każdą prostą przechodzącą przez 0 jest otwarte w topologii euklidesowej tej prostej i jeśli 0 \in U, to U zawiera pewną kulę euklidesową o środku w 0.

Jak to zrozumieć i ogarnąć i rozwiązać?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 14723
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pomyśl o tym tak: zbiór jest otwarty, jeżeli wraz z każdym punktem zawiera wszystkie punkty, które są blisko niego.

Ta odległość jest dośc prosta do ogarnięcia:

Nazwa pochodzi stąd, że jedynymi drogami w przestrzeni sa półproste wychodzące z zera, a poruszać sie możesz tylko po tych drogach. Ta metryka mierzy odległość przy takim właśnie założeniu.

Zastanów się jakie punkty leżą blisko punktu a\neq 0 (innymi słowy jak wyglądają małę kule o środku w a. A jak wyglądają one gdy a=0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 23:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 44
Lokalizacja: Haugesund
max123321 napisał(a):
Niech d_k:\RR^2 \times \RR^2 \rightarrow \RR będzie określone następującą formułą gdzie:
0=(0,0), a d_e oznacza metrykę euklidesową w \RR^2.

d_k=\begin{cases} d_e(a,b) &\text{ jeśli } a,b,0 \text{ leżą na jednej prostej}\\
d_e(a,0)+d_e(b,0) &\text{ w przeciwnym razie}\end{cases}


Chyba powinno być:

d_k:\RR \times \RR \rightarrow \RR

Cytuj:
Pokazać, że zbiór U jest otwarty w przestrzeni (\RR^2,d_k) wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie U z każdą prostą przechodzącą przez 0 jest otwarte w topologii euklidesowej tej prostej i jeśli 0 \in U, to U zawiera pewną kulę euklidesową o środku w 0.

Jak to zrozumieć i ogarnąć i rozwiązać?


Najlepiej wychodząc od definicji.

W przestrzeni metrycznej zbiór U jest otwarty gdy:

\forall x   \in  U \ \exists r > 0 : K(x,r)  \subset  U

gdzie:

K(a,r) = \{x  \in X: d(a,x) < r\}, gdzie (X,d) jest rozważaną przestrzenią metryczną

Przypuśćmy, że zbiór L to dowolna prosta w R^2 przechodząca przez 0

Rozpisz z definicji co oznacza, że przecięcie L z U jest otwarte w topologii tej prostej i pokaż, że implikuje to definicje otwartości zbioru U. Potem odwrotnie pokaż że definicja otwartości U implikuje, że przecięcie każdej prostej przechodzącej przez 0 ze zbiorem U jest otwarte w topologii tej prostej. Przy uzasadnieniu musisz wykorzystać własność metryki d_k.

.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 23:18 
Użytkownik

Posty: 14723
Lokalizacja: Bydgoszcz
Przestrzenią, na której okreslona jest metryka jest \RR^2, zatem d_k:\RR^2\times\RR^2\to\RR jest poprawnym zapisem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2017, o 23:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 44
Lokalizacja: Haugesund
a4karo napisał(a):
Przestrzenią, na której okreslona jest metryka jest \RR^2, zatem d_k:\RR^2\times\RR^2\to\RR jest poprawnym zapisem


Zgadza się, odległość jest funkcją dwóch punktów.

.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 00:17 
Użytkownik

Posty: 1669
Lokalizacja: Kraków
a4karo napisał(a):
Zastanów się jakie punkty leżą blisko punktu a\neq 0 (innymi słowy jak wyglądają małę kule o środku w a. A jak wyglądają one gdy a=0?


No jeśli a \neq 0 to w metryce kolejowej to będą takie odcinki otwarte leżące na prostej łączącej zero z tym a. A w metryce euklidesowej to będą takie koła o środku w a.
Zgadza się? I to nas interesuje?

-- 12 lis 2017, o 00:39 --

lukas1929 napisał(a):

Rozpisz z definicji co oznacza, że przecięcie L z U jest otwarte w topologii tej prostej i pokaż, że implikuje to definicje otwartości zbioru U. Potem odwrotnie pokaż że definicja otwartości U implikuje, że przecięcie każdej prostej przechodzącej przez 0 ze zbiorem U jest otwarte w topologii tej prostej. Przy uzasadnieniu musisz wykorzystać własność metryki d_k.

.


Co to znaczy "w topologii tej prostej" ? Czy dla uproszczenia można przyjąć, że ta topologia tej prostej to jest po prostu zbiór podzbiorów tej prostej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 02:30 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Katowice
1. 0 \notin U, niech V oznacza dowolną prostą przechodzącą przez 0 i przecinającą niepusto zbiór U(zbiór pusty jest otwarty wiec to możemy sobie darować). Ustalmy (a,b) \in U  \cap V. Istnieje r>0, że K((a,b),r) \subset U. Skoro 0 \notin U to kula to przedział na prostej (narysuj sobie jak wyglądają kule w tej metryce - są takie dwa przypadki : przedziały na prostych lub przedziały na prostych i kule o środku w punkcie zero w metryce euklidesowej na\mathbb{R}^2). K((a,b),r) to przedział na prostej V, czyli zbiór otwarty na tej prostejV no i oczywiście K((a,b),r) \subset U \cap V, wiec jest to zbiór otwarty.
Próbuj dalej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 14:53 
Użytkownik

Posty: 1669
Lokalizacja: Kraków
Pakro napisał(a):
1. 0 \notin U, niech V oznacza dowolną prostą przechodzącą przez 0 i przecinającą niepusto zbiór U(zbiór pusty jest otwarty wiec to możemy sobie darować). Ustalmy (a,b) \in U  \cap V. Istnieje r>0, że K((a,b),r) \subset U.


Ale zaraz chwila. Jak rozumiem to dowodzisz implikację w prawo ta? Czyli zakładasz, że U jest otwarty ta? No dobra to powiedzmy, że do tej linijki rozumiem. Ale skąd wiesz, że kula w tej przestrzeni to odcinek? Przecież to ma być w topologii euklidesowej tej prostej, a nie w kolejowej. Co to znaczy, że w topologii euklidesowej tej prostej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 15:17 
Użytkownik

Posty: 123
Lokalizacja: Katowice
No to bedzie podobnie jak w \mathbb{R}. Kulami tam sa przedzialy otwarte. Tutaj różnica jest taka, że mówimy o postych postaci f(x)=ax. Czyli mam na myśli przedział na takiej prostej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2017, o 11:37 
Użytkownik

Posty: 1669
Lokalizacja: Kraków
Aha to ta metryka obowiązuje dla całego zadania, czyli zarówno dla U i V mamy metrykę kolejową, a nie euklidesową? Nie rozumiem co znaczy to sformułowanie "w topologii euklidesowej prostej".

Aha dobra chyba czaję. Przy założeniu, że cały czas mamy kolejową to tak: Bierzemy dowolny punkt (a,b) należący do przecięcia. On należy do pewnej kuli w sensie z pewnym otoczeniem należy on do U, a to otoczenie wrazem punktem leży na prostej przechodzącej przez zero czyli należy też do V. Czyli można powiedzieć, że dowolny punkt należący do przecięcia pociąga za sobą należenie również jego otoczenia do przecięcia i z tego to powodu przecięcie jest otwarte ta?

-- 12 lis 2017, o 23:32 --

Może ktoś sprawdzić czy tak jest poprawnie?

Więc tak:
Bierzemy dowolny punkt (a,b) należący do przecięcia. On należy do pewnej kuli w sensie z pewnym otoczeniem należy on do U, a to otoczenie wraz z punktem leży na prostej przechodzącej przez zero czyli należy też do V. Czyli można powiedzieć, że dowolny punkt należący do przecięcia pociąga za sobą należenie również jego otoczenia do przecięcia i z tego to powodu przecięcie jest otwarte tak?

W drugą mańkę: Zakładamy, że przecięcie U,V jest otwarte. A przecięcie to to są odcinki otwarte. Jeśli U całkowicie należy do V to sprawa prosta bo wtedy ten zbiór jest po prostu otwarty. A jeśli nie należy całkowicie to załóżmy, że jakiś (a,b) \in U i (a,b)
 \notin V. Ale wtedy punkt (a,b) należy do prostej y= \frac{b}{a}x, czyli de fakto należy do V. Sprzeczność. Tak więc cały U musi się zawierać w V, a skoro ich przecięcie jest otwarte to i U musi być otwarty ta?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metryka kolejowa  PAK  9
 Metryka dyskretna,roztrzygnąć  chinka90  4
 metryka basenowa  monia888  0
 metryka rzeka, czy jest brzegowa lu/i gęsta  wredna8888  2
 Pokazać,czy metryka  gardner  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl