szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 12 lis 2017, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Warszawa
Wykazać, że jeśli a _{n} jest ciągiem o wyrazach nieujemnych zbieżnym do a \in R to dla dowolnego k\in N zachodzi:
\lim_{ n\to \infty}  \sqrt[k]{a _{n} } = \sqrt[k]{a}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 13:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
To wynika z ciągłości funkcji f(x)= \sqrt[k]{x}. Wtedy

\lim_{n \to  \infty }\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{ \lim_{n \to  \infty }a_n}=\sqrt[k]{a}

Ciągłość f(x) można uzasadnić rozróżnialnością f(x) jak by było to wymagane.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 12 lis 2017, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Warszawa
A czy można to uzasadnić jakoś inaczej nie używając pojęć ciągłości i rozróżnialności, i jeśli tak to jak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 12660
Chyba różniczkowalnością (mnie też denerwuje autokorekta w telefonie, czy jak się teraz mówi).

Można i tak: jeżeli a> 0, to korzystając ze znanego wzorku na różnicę k-tych potęg, mamy
\sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a}=(a_n-a)\left(a_n^{ \frac{k-1}{k} } +a_{n}^{\frac{k-2}{k}}a^{\frac 1 k}+\ldots+a_n^{\frac 1 k}a^{\frac{k-2}{k}}+a^{\frac{k-1}{k}}\right)^{-1}
zatem:
\left| \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a}\right| \le  \frac{\left| a_n-a\right| }{a^{\frac{k-1}{k}}}
Natomiast jeżeli a=0, to wystarcza zastosowanie twierdzenia o arytmetyce granic, czy coś w tym stylu. Albo tak: jeśli |a_n|<\epsilon^k, to \left|  \sqrt[k]{a_n} \right|<\epsilon i z definicji granicy…
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl