szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izolak, izolak
PostNapisane: 12 lis 2017, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
Punkt a w przestrzeni topologicznej \left( X,T\right) jest izolowany, jeśli \left\{ a\right\} jest zbiorem otwartym. Przestrzeń topologiczna jest dyskretna, jeśli wszystkie jej punkty są izolowane.
Niech T_k,T_r będą topologiami generowanymi przez metryki kolejową i rzekę.

a)Określić zbiór nieprzeliczalny Y \subset \RR^2, taki, że podprzestrzeń \left( Y,(T_k)_y\right) jest dyskretna, ale podprzestrzeń \left( Y,(T_r)_y\right) nie ma punktów izolowanych.
b)Określić zbiór nieprzeliczalny Y \subset \RR^2, taki, że obie przestrzenie \left( Y,(T_k)_y\right) i \left( Y,(T_r)_y\right) mają dokładnie jeden punkt izolowany.

Dobra to weźmy na razie a). Może ktoś podać przykład takiego punktu izolowanego w jakiejś przestrzeni?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 lis 2017, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
a) weźmy dla ustalenia uwagi węzeł w (0,0) i rozważmy taką rodzinę półprostych postaci
\left\{ x\right\} \times \left( 1,+\infty\right), gdzie x przebiega liczby rzeczywiste. Suma takiej rodziny jest oczywiście nieprzeliczalnym podzbiorem \RR^2, własności łatwo można sprawdzić: zbiory otwarte w \left( Y,(T_k)_y\right) są postaci Y\cap U dla U otwartych w (\RR^2, T_k).
b) \left\{ (0,0)\right\}  \cup \left( \left( 1,+\infty\right)\times\left\{ 0\right\}   \right). Jedyny punkt izolowany w obu przypadkach to (0,0) - dlaczego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
Hmm nie bardzo rozumiem. Dlaczego ta Twoja przestrzeń jest dyskretna w a)?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
To już pytanie dla Ciebie, student ma myśleć samodzielnie. Popatrz, jak wyglądają kule w metryce kolejowej (kiedy to są odcinki na prostej przechodzącej przez (0,0), kiedy otwarte kółka, kiedy takie „lizaki"), a następnie weź pod uwagę to, co pisałem o zbiorach otwartych w
\left( Y,(T_k)_y\right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
Ale co to jest to: \left\{ x\right\} \times \left( 1,+\infty\right)? Ten punkt izolowany to jest \left\{ x\right\}??
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 12 lis 2017, o 23:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
\left\{x\right\}\times (1, +\infty) to jest półprosta (bez tego punktu końcowego). Dla ustalonego x_1\in \RR mamy

\left\{ x_1\right\} \times (1+\infty)=\left\{ (x_1,y) \in \RR^2: y>1\right\}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2017, o 00:59 
Administrator

Posty: 23734
Lokalizacja: Wrocław
Premislav napisał(a):
\left\{ x_1\right\} \times (1+\infty)=\left\{ (x_1,y) \in \RR^2: y>1\right\}

Nie mogłem się opanować i wylazł ze mnie formalista: to jest zapis przy pomocy operacji i powinno być

\left\{ (x_1,y): y>1\right\}.

JK
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 13 lis 2017, o 01:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
OK, mea culpa.

-- 13 lis 2017, o 16:27 --

Aha, poprawka:
Cytuj:
weźmy dla ustalenia uwagi węzeł w (0,0) i rozważmy taką rodzinę półprostych postaci
\left\{ x\right\} \times \left( 1,+\infty\right), gdzie x przebiega liczby rzeczywiste.

Liczby rzeczywiste bez zera :!: Inaczej się psuje na półprostej bez końca\left\{0 \right\} \times\left( 1,+\infty\right), bo prosta, której częścią jest ta półprosta, przechodzi przez (0,0).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 16:09 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
No dobra, ale ja chciałem sam początek zrozumieć. Weźmy zbiór \RR^2 i metrykę kolejową. Ty wskazałeś jako zbiór, zbiór półprostych bez początku. Zgadzam się, że jest to zbiór nieprzeliczalny. Ale z resztą to się średnio zgadzam. Punkt (5,5) należy do wskazanego przez Ciebie zbioru. To udowodnij mi, że zbiór \left\{ (5,5)\right\} jest otwarty, bo jakoś tego nie widzę.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 lis 2017, o 17:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
Bardzo przepraszam za zamieszanie w tym wątku. Teraz to nie żart: wyobraziłem sobie, że istnieją dwie kolejne liczby rzeczywiste, dobry agent ze mnie (pomyliłem z całkowitymi). Przecież suma mnogościowa tych półprostych to jest zbiór (\RR\setminus\left\{ 0\right\})\times \left( 1,+\infty\right), który nie spełnia warunków zadania. Ale przykład bardzo łatwo naprawić, biorąc konkretną półprostą. Tj. warunki zadania spełnia dowolna półprosta postaci \left\{ a\right\}\times\left( b,+\infty\right), gdzie b>0 i a\neq 0.
możemy choćby wziąć Y=\left\{ 5\right\} \times\left( 1,+\infty\right).
Jeżeli mamy przestrzeń topologiczną (X, \tau) (\tau to pewna rodzina podzbiorów X, które uznajemy za nasze zbiory otwarte) i zbiór Y\subset X, to możemy określić sobie topologię podprzestrzeni: za zbiory otwarte w (Y, \tau_Y) uznajemy dokładnie te zbiory, które są postaci U\cap Y dla pewnego zbioru U\in \tau (tj. otwartego w przestrzeni (X, \tau)) - porządnie to się wprowadza przez bazę, której elementy są przekrojami elementów bazy (X, \tau) i zbioru Y.
To teraz przestrzeń metryczna i jej podprzestrzeń: mamy sobie przestrzeń metryczną
(X, d), gdzie X to pewien zbiór, zaś d: X\times X \rightarrow [0,+\infty) jest metryką (tj. funkcją spełniającą odpowiednie warunki, które pewnie znasz).
Niech teraz Y\subset X, wtedy możemy sobie określić podprzestrzeń (Y, d_Y) przestrzeni (X,d), najprościej tak myśleć o tym, że każda kula w (Y, d_Y) jest częścią wspólną pewnej kuli w (X, d) i zbioru Y.

Teraz przejdźmy do Twojego przykładu, o który pytasz: zbiór \left\{ (5,5)\right\} nie jest oczywiście otwarty w \RR^2 z metryką kolejową, zresztą chyba nigdzie tak nie stwierdziłem. Natomiast zbiór \left\{ (5,5)\right\} jest otwarty w takiej podprzestrzeni:
\left\{ 5\right\} \times\left( 1,+\infty\right), rozumianej jako podprzestrzeń (\RR^2, T_k).
Jak wyglądają kule w metryce kolejowej, do których nie należy punkt (0,0) i mające środek w pewnym punkcie (x,x), gdzie x \in \RR\setminus\left\{ 0\right\} :?:
Są to takie odcinki otwarte (tj. bez końców) na prostej y=x. Na przykład odcinek bez końców na prostej y=x od punktu (4,4) do punktu (6,6) jest w metryce kolejowej kulą o środku w (5,5) i promieniu \sqrt{2}.
Jest tak, ponieważ jeśli punkty u,v i \mathbf{0}=(0,0) są współliniowe, to odległość u od v w metryce kolejowej jest równa ich odległości w metryce euklidesowej.
No to teraz niech Y= \left\{ 5\right\}\times (1,+\infty) i oznaczmy jako B_1 tę kulę w metryce kolejowej o środku w (5,5) i promieniu \sqrt{2} (czyli ten odcinek bez końców), wówczas mamy
\left\{ (5,5)\right\} =Y \cap B_1, jest to zatem przekrój kuli w (\RR^2, T_k) i zbioru Y.
Nieprzeliczalność zbioru Y jest raczej oczywista.

Tak przynajmniej zapamiętałem z kursu topologii, nie używałem wprawdzie od dawna tej wiedzy (tylko przez jeden semestr później w ogóle jej używałem, na analizie funkcjonalnej 1, ew. jakieś strzępki na rachunku prawdopodobieństwa/statystyce).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 18:04 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
Aha no dobra to mi chyba trochę wyjaśniło, bo ja na to inaczej patrzyłem. Czyli według tego co mówisz ta kula zawierająca \left( 5,5\right) to jest zbiór: \left\{ (5,y):y \in \left( 5- \sqrt{2},5+ \sqrt{2}  \right) \right\} ta?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lis 2017, o 15:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
Ale w której metryce? Warto mieć to na uwadze. Jest to kula o środku w punkcie (5,5) i promieniu \sqrt{2} w metryce rzeka, nie jest w kolejowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2017, o 16:08 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
Ale czekaj, to który zbiór jest izolowany w kolejowej, a który w rzece? Coś nie łapię.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 lis 2017, o 23:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13173
Lokalizacja: Wrocław
Nie pojawiło się tutaj takie pojęcie, jak zbiór izolowany.

Każdy punkt zbioru Y=\left\{ 5\right\} \times (1,+\infty) można zapisać w postaci przekroju zbioru Y i pewnej kuli w \RR^2 z metryką kolejową, stąd wniosek, że
(Y, (T_k)_y) jest przestrzenią dyskretną (każdy punkt w tym zbiorze jest punktem izolowanym), z drugiej strony jeśli y>1, to istnieje takie \epsilon>0, że \left\{ 5\right\}\times (y-\epsilon, y+\epsilon) \subset \left\{5\right\}\times (1,+\infty) (np. \epsilon=\frac{y-1}{2}), więc żaden punkt w (Y, (T_r)_y) nie jest punktem izolowanym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Kraków
Ok pokaż mi na tym zbiorze, że ten punkt z {5} jest izolowany.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl